Grenseverdi med Eulers tall

[Mom79]

Jeg skal i en oppgave bestemme grenseverdien om den eksisterer:

lim [tex]\frac{6e^x-6}{3x^3}[/tex] når x -> 0

Jeg har begynt med å faktorisere, og endte opp med [tex]\frac{2e^x-1}{x^3}[/tex] uten at det hjelper meg. Dessuten liker jeg ikke at eulers tall blir blandet inn i dette...

Har jeg feil fremgangsmåte hvis jeg tenker at alle plasser hvor det er en x, skal det settes inn 0? (Siden x -> 0 ) Hvis jeg gjør det, ender jeg opp med at svaret er -6.

Takk for tålmodighet og gode svar...

[espen180]

Kan du L'Hopitals regel?

[Mom79]

Kan du L'Hopitals regel?

Nei, L´Hôpitals regel kan jeg ikke noe særlig godt. Dessverre

Jeg har lest at [tex]e^x[/tex] -> 1 når x -> 0.

Nå er det natt min tid, og det som kommer ned på regneblokka er ikke særlig bra.

Jeg prøver på igjen i morgen tidlig min tid, med friskt mot! Hvis noen kan dytte meg i rett retning, blir jeg veldig glad.

[meCarnival]

Riktig som du sier og det gi 0/0 som løses med L'H regel...

L'H skjer ved å deriverer teller for seg og nevner for seg og sette inn x-verdien på nytt og se om du får noe fornuftig ut som svar da... Hvis du får Uendelig/uendelig eller 0/0 så gjentar du prosessen til du får et svar, altså en grense...

[Mom79]

Takk!

Så jeg deriverer teller for seg og nevner for seg, mens jeg husker på at [tex]e^x[/tex] -> 1 når x -> 0. Se her:

Derivasjon av telleren [tex]6e^x-6[/tex] gir meg [tex]6e^x[/tex]. Jeg har ikke kontroll på [tex]e^x[/tex] og reglene rundt denne, og det vises sikkert...

Derivasjon av nevneren [tex]3x^3[/tex] gir meg [tex]9x^2[/tex].

Så nå har jeg brøken [tex]\frac{6}{9x^2}[/tex] som vel kan forkortes til [tex]\frac{2}{3x^2}[/tex]

Jeg kommer ikke lengre, og har vanskelig for å tro at dette skal være rett løsning!!!

[Dinithion]

Du er vel litt kjapp på avtrekkeren når du deriverer 6e^x -6 til å bli 6.

Edit:
Ah, så først nå at du var usikker på derivering av e. Den er:

[tex]f(x) = e^{ax}\, gir\, f^, (x) = ae^{ax}[/tex]

[Mom79]

......derivering av e. Den er:

[tex]f(x) = e^{ax}\, gir\, f^, (x) = ae^{ax}[/tex]

Men her som det står [tex]6e^x[/tex], når dette deriveres, blir det [tex]6e^x[/tex] ? Jeg fikk til svar i stad kun 6-tallet, fordi jeg erstattet [tex]e^x[/tex] med 1 etter regelen [tex]e^x[/tex] -> 1 når x -> 0.

[Dinithion]

Ja, det er riktig. Jeg kunne jo godt ha skrevet:

[tex]f(x) = ae^{bx}\, gir\, f^, (x) = abe^{bx}[/tex]

Ja, men som meCarnival nevnte, så skal du gjenta prosessen med L'Hopitals regel helt til du ikke lenger har ett 0/0 utrykk eller [symbol:uendelig]/[symbol:uendelig].

[Mom79]

Når jeg deriverer videre på telleren og nevneren, står jeg helt til slutt igjen med (etter å ha forkortet) [tex]\frac{1e^x}{3}[/tex]

Så jeg blir ikke kvitt [tex]e^x[/tex]

Er det her den kan erstattes med 1 etter regelen [tex]e^x[/tex] ->1 når x -> 0 ??

[Dinithion]

Ja, det er riktig

[Mom79]

Jippi!!

Og tusen takk for veiledning og tålmodighet

[meCarnival]

Når jeg deriverer videre på telleren og nevneren, står jeg helt til slutt igjen med (etter å ha forkortet) [tex]\frac{1e^x}{3}[/tex]

Så jeg blir ikke kvitt [tex]e^x[/tex]

Er det her den kan erstattes med 1 etter regelen [tex]e^x[/tex] ->1 når x -> 0 ??

Her ja..

Ikke være så redd om du blir kvitt eˆx eller ikke. Det er kun det nye uttrykket du får som du skal sette inn 0 for x og se hva du får for noe ut.

Får du 0/0 eller U/U så er det L'H som skal brukes.. Finnes en rekke ubestemte former på dette som 0 * U f.eks som må først gjøres om til 0/0 eller U/U...

Når du får et helt nytt så gjør du bare den samme prosessen. Når du har derivert teller for seg og nevner for seg så bare setter du inn hva x'n din går for og ser hva du får av grense igjen... Som eˆ0 = 1 er kjekt og kunne ha i bakhode osv for å regne fort =)...


Mvh meC

[Mom79]

Takk skal du ha for god forklaring