Brøkulikhet - 2MX newbieproblem

[lapsklaus]

Har brøkulikheten [tex]\frac{1-3x}{3+2x}\leq0[/tex]

Jeg ser ikke at verken teller eller nevner kan faktoriseres ytterligere, og går derfor rett på fortegnsskjema.

Her sitter jeg fast, fordi jeg ikke kan se hvilke x-verdier som gjør uttrykkene lik null. Hvordan kan jeg da drøfte uttrykket med hensyn på null?

[Vektormannen]

Brøken blir null når telleren er lik null. Hvis du ikke tar det i hodet er det bare å løse likningen [tex]1-3x = 0[/tex]. På samme måten finner du x-verdien til bruddpunktet ved å sette nevneren lik 0.

[lapsklaus]

Akkurat. Så jeg kan altså sette nullpunktene [tex]\frac{1}3[/tex] og [tex]-\frac{3}2[/tex] over x-linja, trekke ned linjene til null, drøfte fortegn, osv?

[Vektormannen]

Ja. Men det er viktig å huske at brøken ikke har et nullpunkt, men et bruddpunkt for [tex]x = -\frac{3}{2}[/tex]. Selve nevneruttrykket har derimot et nullpunkt.

[lapsklaus]

Jepp. Godt du minte meg på det. Takker.

[lapsklaus]

En liten ting til. Jeg er ikke kjent med uttrykket bruddpunkt, men er det punktet der nevneren blir null og brøken dermed umulig fordi man ikke kan dele på null?

[Vektormannen]

Ja, det er der brøken er udefinert (grafen får et brudd.)

[Charlatan]

Verdt å nevne at hvis både teller og never går mot 0 i ett punkt, så trenger ikke bruddet være en vertikal asymptote.

[lapsklaus]

@vektormannen: Takk. Nå er jeg med.

[lapsklaus]

Kan du forklare det slik at til og med jeg forstår det? Dersom du leser innlegget jeg started tråden med, ser du kanskje hvilket nivå jeg er på...

Men jeg er veldig lærevillig!

[Vektormannen]

Jarle10 har et viktig poeng. Du kjenner sikkert til asymptotebegrepet? En asymptote er en linje som funksjonen nærmer seg ("legger seg inntil") når x-verdien går mot et bruddpunkt, eller blir uendelig stor (eller andre tilfeller).

For eksempel denne funksjonen: [tex]f(x) = \frac{1}{x-2}[/tex]. Når x nærmer seg 2, vil vi få et tall som er veldig nært 0 i nevneren. Da vil brøken få en kjempestor tallverdi (pluss eller minus uendelig, avhengig av om x nærmer seg 2 fra venstre eller høyre side på tall-linja). Det ser vi ved at grafen stiger voldsomt og nærmer seg (men krysser aldri) linjen x = 2. Vi kaller denne linjen for den vertikale asymptoten.

Men dersom både teller og nevner går mot 0 samtidig (det betyr at for samme x-verdi får vi 0 i både teller og nevner), har de muligens en felles faktor. Da kan vi kanskje foreta en korting. Som eksempel, se på denne funksjonen: [tex]f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}[/tex]. Her har vi et brudd når x = 1. Men funksjonen nærmer seg ikke en vertikal asymptote. Hvis du tegner grafen ser du at den er en rett linje, og ikke lignende grafen til funksjonen ovenfor i det hele tatt. Hvorfor ser vi hvis vi faktoriserer telleren: [tex]\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}[/tex]. Når vi korter står vi igjen med [tex]x+1[/tex]. Og det er som kjent likningen for en rett linje.

Funksjonen har fortsatt et brudd når x = 1, men den er en helt rett linje for alle andre x-verdier.

Dette ble kanskje uklart. Det står forklart nærmere i 2MX-boka di (kanskje i sammenheng med grenseverdier.)