andregradsfunksjoner paa faktoriseringsmetoden!

[vildemor]

jeg skjönner ikke dette med faktoriseringsmetoden og andregradsliknionger. det er vell egentlig fortegnsskjemaer jeg ikke forstaar.
et eksempel paa en oppgave:
gitt en funksjon f(x)= -4x^3+8x²-x-3
bruk fortegnslinja til aa avgjöre naar f(x) _> -3

kan noen hjelpe meg?

[Vektormannen]

Dette er ikke en andregradslikning. Oppgaven spør etter når denne tredjegrads polynomfunksjonen er større eller lik 3, altså hvilke argumenter (x-verdier) som gjør at funksjonen oppfyller det kravet:

[tex]f(x) \geq - 3[/tex]

Flytter over -3:
[tex]-4x^3 + 8x^2 - x \geq 0[/tex]

Setter x ut av parantes:
[tex]x(-4x^2 + 8x - 1) \geq 0[/tex]

Benytter nullpunktsetningen på den andre faktoren:

[tex]x = \frac {(-8) \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1)}}{2 \cdot (-4)} = \frac {-8 \pm \sqrt{48}}{-8} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{-8} = \frac{-2 \pm \sqrt{3}}{-2}[/tex]

[tex]x(-4x^2 + 8x - 1) \geq 0 \ \Longleftrightarrow \ -4x\left(x-\frac{-2+\sqrt{3}}{-2}\right)\left(x-\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right) \geq 0[/tex]

Med tilnærmingsverdier blir det:

[tex]-4x(x-0.1339)(x-1.866) \geq 0[/tex]

Når det kommer til fortegnsskjema må du huske at poenget med det er å se hvor et uttrykk er positivt og hvor det er negativt, altså når det er større enn 0, og når det er mindre enn 0. Ovenfor flyttet vi over -3 til venstresiden av ulikhetstegnet, så selv om oppgaven spør etter når funksjonen er større eller lik -3, vil vi finne ut når den er større eller lik 0, altså når det er positivt.

Begynn med å tegne opp nullpunktene, det vil si der faktorene er 0. Det er lett å se hva x må være for at de forskjellige faktorene skal bli 0 i dette tilfellet. Etterpå markerer du der faktoren er negativ og der den er positiv. Etterpå ser du på de forskjellige intervallene mellom nullpunktene. Når det er et odde antall negative faktorer i et visst intervall, vil funksjonen også være negativ i dette intervallet. I de intervallene det er et partall antall negative faktorer, vil funksjonen være positiv.

Når du har tegnet opp alle faktorene og funksjonen som en helhet, er det jo bare å lese av hvor den er positiv og hvor den er negativ. Du er interessert i når den er positiv. Da skriver du ned de intervallene hvor det er tilfellet.

[vildemor]

hei du
naa tror jeg at jeg har skjönt det meste, men jeg tror ikke det er paa den maaten matteboka mi vil at jeg skal löse oppgaven..
er (visstnok) mulig aa dele tredjegradslikningen med (x-1) (etc.) ogsaa faa et svar ( som da er en andregradslikning) finne nullpunktene, sette opp skjemaet, og finne svaret..
kan det stemme at noe saant funker?

takk for svaret forresten

[Vektormannen]

Jeg flyttet over -3. Da datt -3 ut på venstresiden (-3 + 3 = 0). Deretter delte jeg alle ledd på x (fordi x var en faktor i alle ledd) og satte den utenfor i parantes.

[ahe753]

Blir det ikke [tex]x(x-\frac{-2+\sqrt{3}}{-2})(x+\frac{2+\sqrt{3}}{2})\geq0[/tex]?

[Vektormannen]

Hvorfor blir det det? [tex]\frac{2+\sqrt{3}}{2}[/tex] er et positivt tall.

[ahe753]

Det er noen år siden sist jeg var borti dette, men jeg tenkte at dersom en andregradslikning (=0) hadde løsningene x[sub]1[/sub] og x[sub]2[/sub], så kan andregradslikningen skrives som (x-x[sub]1[/sub])(x-x[sub]2[/sub]).

Og da blir det:

[tex](x-\frac{-2+\sqrt{3}}{-2})(x-\frac{-2-\sqrt{3}}{-2}) = (x-\frac{-2+\sqrt{3}}{-2})(x-(-1)\frac{2+\sqrt{3}}{2}) = (x-\frac{-2+\sqrt{3}}{-2})(x+\frac{2+\sqrt{3}}{2})[/tex]

[Vektormannen]

Nei. Hvorfor ganger du med -1?

[ahe753]

Du har rett. Klarte på en eller annen måte å overse minustegnet i nevneren.

[vildemor]

-4x^3+8x²-x-3 ^_ -3

-4x^3+8x²-x

(finn en x-verdi som gjör likningen til 0)
her da 0
likningen kan da deles paa (x-0)
-4x^3-8x²-x: (x-0) = -4x²+8x-1

abc formelen = x= -0.1339 og x= -1.886

-4x^3-8x²+x = -4(x+0.1339)(x+1.866)(x-0)

saa har man da (x+0.1339) (x+1.866) (x-0) og -4 og tegne foregnsskjema til og finne lösningen..

kan dette stemme?
hmm.. ?

[Vektormannen]

Du minnet meg på at jeg hadde glemt å også sette -4 foran faktorene. Men du har ikke gjort helt rett selv. Når du bruker abc-formelen på [tex]-4x^3+8x^2-x[/tex] får du ikke negativt fortegn på svarene. Dermed får du, som i den første posten min: [tex]-4x(x-0.1339)(x-1.866)[/tex].

Men ellers, ja, da er det bare å tegne opp i fortegnsskjema.

Forresten, (x-0) = x.

[vildemor]

fantastisk! naa blir laerern min fornöyd

takker;)

jeg skjönner fortsatt ikke fortegnsskjema da, men det kommer nok etter hvert

[andhou]

bare sånn...før du snakker om fornøyd lærer (:P)

Vet at mine lærere sier at med mindre det står i oppgaven (eller det er sånn hvor mange kr har an i banken etter 7,43 år?) at man skal oppgi svaret i tilnærmingsverdier så skal man oppgi eksakte svar,[tex]-4x(x-\frac{-2+sqrt{3}}{-2})(x-\frac{2+\sqrt{3}}{2})[/tex] i dette tilfellet, ellers er det grunn til trekk. Hør for sikkerhetsskyld med læreren(e) din om dette, hva han/hun(de) sier. Er så surt å få trekk for det


For å i et fortegnskjema finne ut om et tall er null, negativt eller positivt kan du jo bare sette inn en hvilken som hels x-verdi, gange ut og se hva du får til å begynne med - hjalp meg...

Når er -4x=0? -4*-1=4 altså positivt, -4x*1=-1 altså negativt, mens -4*0=0. Samme med de andre: -1-0.1339=-1.339, 0-0.1339=-0.1339 og 1-0.1339=0.8661

[Vektormannen]

Ja, eller når du har funnet nullpunktene for hver av disse faktorene er det opplagt at den er negativ i intervallet til venstre for nullpunktet og positiv i intervallet til høyre.