Derivasjon

[bjoern-idar]

Kan noen hjelpe meg litt?

1) Gitt funksjonen N(x)=1,2x^(-1,5) * ln x. Her er N(x) etterspørselen i tusen enheter x år etter 1. januar 1998

b)For hvilken verdi av x er etterspørselen størst? Hvor stor er etterspørselen da?

Jeg tenker at jeg må derivere, og sette den deriverte =0. Har brukt produktregelen, men får ikke til oppgaven. Her er hva jeg har gjort hittil:

N'(x)= (1,2x^(-1,5))' * ln x + 1,2x^(-1,5) * (ln x)'
= -1,8x^(-2.5) * ln x + 1,2x^(-1,5) * (1/x)

Og her stopper jeg opp uvitende om det jeg hittil har gjort faktisk er rett. Hva gjør jeg videre her?

2) N(x) =50 + 2x - (24/[pi][/pi]) * sin(([pi][/pi]/6)x)

Vis at N'(x)= 2-4*cos(([pi][/pi]/6)x)[pi][/pi]

[sletvik]

For å ta oppgave 1, så er derivasjonen din helt riktig, hvilket du greit kan sjekke hvis du tegner grafen for både N(x) og N'(x). Grafen til N'(x) vil krysse x-aksen i den x-verdien hvor N(x) har enten et topp eller bunnpunkt. Som du sier, setter du den deriverte lik 0, og løser likningen. Svaret blir x=1,95. For å finne ut om dette er et topp eller bunnpunkt deriverer vi en gang til. I dette tilfellet er dette strengt tatt ikke nødvendig, vi ser jo lett av grafen at vi snakker om et toppunkt, men uansett er det fremgangsåten. Så finner vi N''(1,95) og får -0,18. Minustegnet forteller oss at N(x) har et toppunkt for x=1.95 (noe vi egentlig kunne sagt på forhånd). Svaret på oppgaven blir altså at etterspørselen er størst for x=1,95 og da er den N(1,95)=0,29 tusen, altså 290 enheter.

I oppgave 2 kan vi derivere ledd for ledd og bruke kjerneregelen. Den deriverte av 50 er jo 0, og deriverer vi 2x får vi 2. Til slutt har vi et sinusledd med en konstant foran. Denne konstanten blir uforandret i første omgang. Når vi så deriverer sinus("noe") får vi cosinus("noe")*derivatet av "noe". Vi deriverer altså (pi/6)x og får pi/6. Dette forkortes mot 24/pi, og resulterer i 4. Skjønte du det?

[oro2]

2) N(x) =50 + 2x - (24/[pi][/pi]) * sin(([pi][/pi]/6)x)

Vis at N'(x)= 2-4*cos(([pi][/pi]/6)x)[pi][/pi]

De to første leddene er vel greie.. på det siste bruker du kjerneregelen.

dN/dx = 2 - 24/[pi][/pi] * cos ([pi][/pi]x/6) * [pi][/pi]/6 = 2 - 4 cos ([pi][/pi]x/6)

Går utfra at den [pi][/pi]'en der på slutten var skrivefeil, for den skal ikke være der.

[bjoern-idar]

Tusen takk:) Skjønte dette nå:)