Figurtall/vennskapelige tall

[ninacath]

Hei!
Kan noen hjelpe meg med disse??????

a) Skriv ned de fire første hexagonale tall

b) Vis både algebraisk og geometrisk at 8 ganger et vilkårlig trekanttall, pluss 1, er et kvadrattall.

c)Vis at alle like perfekte tall også er trekanttall.

d) De tre første perfekte tallene er 6, 28, 496. Hva er det fjerde?

e) Vis at Nicolo Paganinis tall, 1184 og 1210 også er vennskapelige.

Nina

[ThomasB]

a) Hexagonale tall er tall på formen n*(2n-1), bare å sette inn n=1, n=2 osv. for å finne de første.

b) Triangulære tall kan skrives på formen n*(n+1)/2. Algebraisk kan dette da vises ved å ta denne formelen, multiplisere med 8 og legge til 1. Da får du noe som lett kan omformes slik at du ser det blir et kvadrattall.

c) Her må du spørre noen andre (dischler pleier å ta slike ganske lett...)

d) Er vel bare å slå opp et sted, f.eks. her:
http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html
Der ser du at det fjerde perfekte tall er 8128.

e) To tall er vennskapelige dersom de har samme forhold mellom summen av divisorene og tallet selv. Altså:
Summer divisorene for hvert av tallene. Divider på tallet. Se at du får samme forhold for begge tall.

[Matematikkk]

Dette er flotte og interesannte temaer, det hadde vore fint om noken ville skrive litt om det.

[ThomasB]

Jeg snakket nettopp med dischler, og c) kan være både lett og vanskelig alt etter hvilke teoremer man kan ta for gitt. Er litt vanskelig for oss å vite hvilke uten å se boka oppgaven står i, men kanskje du kan si noe mer om det?

[ninacath]

Hei!

Oppgave c) Vis at alle like* perfekte tall også er trekanttall, står ikke i noen bok, muligens i boka "Matematikkens historie - Fra Babylon til mordet på Hypatia" av Audun Holme.

* Vi vet ikke om det finnes odde perfekte tall.

Kan noen prøve å sette meg på sporet på enklest mulig måte????
Gi meg den lette måten!

Nina

[dischler]

Oppgave c) Vis at alle like* perfekte tall også er trekanttall, står ikke i noen bok

Hvor har du oppgaven fra? Hvilke teoremer kan du anta kjent?

Kan noen prøve å sette meg på sporet på enklest mulig måte????
Gi meg den lette måten!

Jeg vet ikke om noen lett måte å vise dette på uten å bruke et eller annet bevist teorem.

Et teorem som først ble bevist av Euler sier at alle like perfekte tall kan skrives på formen:

2[sup]p-1[/sup](2[sup]p[/sup] - 1)

Ut fra dette er det lett å bevise at alle like perfekte tall også er trekanttall.

En annen måte å bevise det på er å gå ut fra et teorem som sier at alle like perfekte tall større enn 6 kan skrives på formen 1 + 9T[sub]n[/sub] der T[sub]n[/sub] er et trekanttall.