PI - hvor kommer det fra?

[JEGelskerMATTE]

Heisann....
Vi har jo siden ungdomskolen brukt tallet 3,14 (pi) når vi skal regne overflate, volum og areal i trigonometrien. Men hvor kommer egentlig tallet pi fra? Og hvorfor akkurat tallet 3,14? Tar det lang tid å vise en utregning for 3,14? Hadde vært fint om noen ville gjort det

[ThomasB]

[pi][/pi] er definert som forholdet mellom omkretsen (O) og diameteren (d) i en sirkel:

[pi][/pi] = O/d = O/2r
(eller O = 2[pi][/pi]r)

Dette er definisjonen. [pi][/pi] inngår også i formlene for arealet av sirkelen, overflaten av en kule og volumet av en kule. Grunnen er at når vi utleder disse formlene bruker vi nettopp O = 2[pi][/pi]r

Sirkel:
Man kan enkelt argumentere for at en sirkels areal er lik halvparten av omkretsen * radien, som gir:
A = 1/2 * O * r = 1/2 * (2[pi][/pi]r) * r = [pi][/pi]r[sup]2[/sup]

Kule:
Dette er ikke fullt så enkelt, men man kan vise at overflatearealet og volumet av en kule også inneholder faktoren [pi][/pi]

Hvorfor er så [pi][/pi] omtrent lik 3.14? Dette fins det mange måter å regne ut, de fleste tar endel tid. Så det får jeg (eller noen andre?) komme tilbake til senere...

[Kristianm]

"ÅJA!!! Selvfølgelig" var det første som slo meg når jeg leste ditt innlegg.
Men jeg tror likevel ikke jeg hadde kommet på det hvis det var en oppgave på en prøve.

Men dette vil si at Overflaten/diameteren alltid blir 3,14?

[oro2]

Men dette vil si at Overflaten/diameteren alltid blir 3,14?

Omkretsen/diamater er alltid lik [pi][/pi]

[oro2]

Hvorfor er så [pi][/pi] omtrent lik 3.14? Dette fins det mange måter å regne ut, de fleste tar endel tid. Så det får jeg (eller noen andre?) komme tilbake til senere...

Det finnes vel ganske mange rekker som konvergerer mot [pi][/pi] (eller en fraksjon av [pi][/pi]). Her er en av dem:
[pi][/pi] /4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ....

eller (riktig nok ikke en rekke...):
[pi][/pi]/2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * 8/7 * 8/9 .....


En av de eldste metoder for å finne [pi][/pi] var det Arkimedes som sto bak. Metoden går ut på å omskrive en regulær mangekant (n kanter) rundt en sirkel, og en annen inne i sirkelen. Arealet til sirkelen må da være mellom arealene for disse mangekantene. (n=3*2[sup]m[/sup], der m er et helt tall)

Ved bruk av relativ enkel trigonometri kommer man da frem til et uttrykk for hvert av disse arealene. Hvis man setter radiusen til 1 vil dette også være verdien til [pi][/pi]. Jo høyere n, desto mer nøyaktig verdi av [pi][/pi]. Arkimedes gikk opp til n=96, og fant da ut at [pi][/pi] ligger mellom 3.139350 og 3.142715. Hvis man bruker n=5760 vil man finne ut at [pi][/pi] ligger mellom 3.141592 og 3.141593

Hvis noen føler for å regne ut enda mer nøyatig kan denne formelen brukes:
n/2 * sin(360/n)) < [pi][/pi] < n*tan(180/n)

Edit: Trykkleif

[Gjest]

Oro2 og ThomasB!

Tusen takk for glimrende svar!!!
Jeg må bare spør deg oro2: hvor gammel er du?

[oro2]

Jeg må bare spør deg oro2: hvor gammel er du?

20 år, snart 21

[Kristianm]

hehe....
hadde du vært like gammal som meg hadde du vært et multigeni!!!!
Du er jo et geni nå åsså, men liksom..... ja du skjønner

Jeg er 18 og går på VK1 økonomisk, har 2mx og 2fy og skal fortsette med begge i vk2

MATTE MATTE MATTE MATTE

[oro2]

Nå er det jo ikke jeg som har kommet på dette da, tror heller du bør kalle Arkimedes genial her.
Men takk for ros.

[ThomasB]

Kan jo tilføye hvordan overflaten av en kule beregnes: (bevis for formelen A = 4[pi][/pi]R[sup]2[/sup])

For en sirkel med radius R og sentrum i origo har vi følgende ligning:

y[sup]2[/sup] + x[sup]2[/sup] = R[sup]2[/sup] (følger av Pytagoras)

En kule kan vi f.eks. få ved å dreie den øvre halvsirkelen rundt x-aksen. Den øvre halvsirkelen har formel y = [rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])

Et snitt gjennom kula ved en gitt x-verdi blir også en sirkel, og det er her [pi][/pi] kommer inn. Denne sirkelen har radius lik y-verdien over, og omkretsen til sirkelen er:

O = 2[pi][/pi]y = 2[pi][/pi][rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])

For å finne overflaten til kula vår er vi nødt til å bruke integrasjon. Vi deler inn kula i mange tynne skiver (sirkelformede "brødskiver") med tykkelse dx. Overflatearealet til kula finner vi ved å legge sammen arealene til "skorpene" til brødskivene. Arealet (dA) av en "skorpe" er rett og slett lengden * bredden:

dA = lengde * bredde = 2[pi][/pi]y * [rot][/rot](dx[sup]2[/sup] + dy[sup]2[/sup]) = 2[pi][/pi]y * [rot][/rot](1 + (dy/dx)[sup]2[/sup]) * dx

(Lengden til skorpa er lik omkretsen av brødskiva, 2[pi][/pi]y, og for bredden er vi nødt til å bruke formelen for buelengde)

For å finne overflaten av kula må vi summere alle disse arealene dA, for x-verdier fra -R til R:

A = [itgl][/itgl]dA = [itgl][/itgl]2[pi][/pi][rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])[rot][/rot](1 + (dy/dx)[sup]2[/sup])dx = 4[pi][/pi]R[sup]2[/sup]

Som vi ser får vi 2[pi][/pi] * (et integral), og hvis vi regner ut integralet får vi (forhåpentligvis) 2*R[sup]2[/sup]

Grunnen til at overflaten til en kule inneholder [pi][/pi] er som vi ser:
vi trengte omkretsen til en rund "brødskive", som selvfølgelig er 2[pi][/pi]r (etter definisjonen av [pi][/pi])

Et tilsvarende argument for volumet av kula gir at V = [itgl][/itgl]AdR = [itgl][/itgl]4[pi][/pi]R[sup]2[/sup]dR = 4/3*[pi][/pi]R[sup]3[/sup]

[ThomasB]

A = [itgl][/itgl]dA = [itgl][/itgl]2[pi][/pi][rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])[rot][/rot](1 + (dy/dx)[sup]2[/sup])dx = 4[pi][/pi]R[sup]2[/sup]

Sikkert noen som lurer på hvordan dette "stygge" integralet kan løses også, og det er faktisk ikke vanskelig:

Vi hadde at y = [rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]), og ved å derivere får vi:

dy/dx = -x / [rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])

Hvis vi setter alt dette inn i integralet (som skulle tas mellom -R og R):

A = 2[pi][/pi][itgl][/itgl][rot][/rot](R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])*[rot][/rot](1 + (x[sup]2[/sup])/(R[sup]2[/sup] + x[sup]2[/sup]))dx = 2[pi][/pi][itgl][/itgl][rot][/rot](R[sup]2[/sup])dx = = 2[pi][/pi]R[itgl][/itgl]dx = 2[pi][/pi]R*[R + R] = 4[pi][/pi]R[sup]2[/sup]

[Kristianm]

Fant en grei tekst om [pi][/pi] på matematikk.org for de som er interessert.....

http://www.matematikk.org/pub/mattetekst/Pi/

[LGO]

For de som er interessert i mer morsomme ting om [pi][/pi], så inneholder denne siden mye interessant, om ikke så mye nyttig... http://www.go2net.com/useless/useless/pi.html

[Vestlandstøsa]

I samband med opprinnelsen til [pi][/pi] bør vel eigentleg Rhind papyrus, Adrianus Romanus og William Jones nemnast..?

[Bernoulli]

Tenkte jeg bare skulle nevne at man trenger ikke definere Pi som forholdet mellom omkrets og diameter på en sirkel. Man kan definere Pi utifra vinkelbetraktninger, dvs Pi = 180 grader. Ved da å regne med sylinder koordinater eller kulekoordinater, vil Pi dukke opp i de fleste situasjoner. Da er det forresten ingen sak å vise at Pi faktisk er forholdet mellom omkrets og diameter i en sirkel.