trigonometriske funksjoner

[studybuddy]

Jeg sitter og prøver å løse en trigonometrisk funksjon.
Jeg fant noe litt rart...

Jeg har funksjonen f(x) = sqrt(8)sin2x - sqrt(8)cos2x + 1
Jeg har funnet
Amplituden: sqrt( (sqrt(8)^2 + (-sqrt(8)^2) ) = 4
Perioden: 2π/c = 2π/2 =π

Jeg skal nå skrive f på formen: Asin(cx+φ) +d
Jeg finner først φ = tan -sqrt(8) /sqrt(8) = -1 = 3π/4 +n * π

Jeg ser at koeffisienten til sinusleddet er positivt, mens koeffisienten til cosinusleddet er negativt. Men ligger da φ i andre eller fjerde kvadrant?
Det er cosinusleddet som er negativt, burde ikke da φ ligge i andre kvadrant? Fasiten sier fjerde kvadrant.

Takk på forhånd

[studybuddy]

Vent litt!
Tan er -1
Må ikke da intervallet være (3π/2, 2π) ???
Da må φ ligge i fjerde kvadrant???

Nå er jeg litt interessert hva som er rikitg

[Mattebruker]

tan[tex]\varphi[/tex] = - 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\varphi[/tex] = -[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] + n[tex]\pi[/tex] ( tan-funksjonen er periodisk med periode lik pi )
Punktet ( a , b ) = ([tex]\sqrt{8}[/tex] , - [tex]\sqrt{8}[/tex] ) ligg i 4. kvadrant [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\varphi[/tex] = - [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] + 2[tex]\cdot[/tex][tex]\pi[/tex] = [tex]\frac{7\pi }{4}[/tex] ( 4. kvadrant )

Tommelfinger-regel: Fasevinkelen [tex]\varphi[/tex] ( absoluttverdi ) bør helst vere mindre enn perioden ( som i dette tilfelle er lik [tex]\pi[/tex] )
Dette kan vi ordne ved å trekkje frå eit heilt omløp ( 2[tex]\pi[/tex] ) på "kjernen" i sinus-leddet. Da får vi

f( x ) = 4 sin(2x + [tex]\frac{7\pi }{4}[/tex] ) + 1 = 4 sin( 2x + [tex]\frac{7\pi }{4}[/tex] - 2[tex]\pi[/tex] ) + 1 = 4 sin( 2x - [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) + 1

Alternativ løysing:
Du kan styre unna problemet du presenterer ved å bruke formelen for sinus til ein differanse mellom to vinklar:

( * ) sin( u - v) = sinu cosv - cosu sinv

f( x ) = [tex]\sqrt{8}[/tex] sin2x - [tex]\sqrt{8}[/tex] cos2x + 1 = ( multipliserer inn brøken [tex]\frac{amplitue}{amplitude}[/tex] =[tex]\frac{4}{4}[/tex]) = [tex]\frac{4}{4}[/tex] ( [tex]\sqrt{8}[/tex] sin2x - [tex]\sqrt{8}[/tex] cos 2x ) +1 = 4 ( [tex]\frac{\sqrt{8}}{4}[/tex] sin2x - [tex]\frac{\sqrt{8}}{4}[/tex]) + 1 =
4 ( [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]sin2x - [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] cos2x ) + 1 [ [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] = cos[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] = sin[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ] = 4 ( sin2x cos[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] - cos2x sin[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) + 1 = [ formel ( * ) baklengs ] 4 sin( 2x - [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] ) + 1