Hvordan vet vi at dette er et nullpunkt?

[Jaques]

« Skal løse likningen x^3+2x^2-7x+4=0,

Ser at x=1 er en løsning til likningen.»

Hvordan kan man «bare» se dette uten videre?

[Aleks855]

$1^3+2\cdot 1^2-7\cdot 1+4=0$

Sjekk at det stemmer.

[Jaques]

Ja, så mao: gjett og sjekk? thats it?

[Aleks855]

Nå ser det ut som du har gjengitt en del av et løsningsforslag, og ikke selve oppgaven, så det er vanskelig for meg å bedømme om oppgaven er urimelig.

[Jaques]

Oppgaven er: løs likningen

[Aleks855]

Skjønner.

Vel, det fins et teorem som sier at løsningene vil dele konstantleddet, som her er 4. Så kandidatene vi ville gjetta er 1, -1, 2, -2, 4, -4.

Og når du vet én av dem, så vil likninga reduseres til en andregradslikning. Men man kan også teste de andre kandidatene for å gjøre det enda lettere.

[LektorNilsen]

Ja, så mao: gjett og sjekk? thats it?

Når vi skal løse 3.gradslikninger uten hjelpemidler, er det ganske vanlig at vi "gjetter og sjekker" for å finne én løsning, slik at vi får en lineær faktor vi kan dele polynomet (venstresiden) på for å finne resten av løsningene.
Når slike oppgaver gis til eksamen/prøver i videregående, og skal besvares uten hjelpemidler, har man som regel sørget for å bruke et polynom som har en heltallig rot "nærme null". F.eks. at x=1, x=2 eller x=-1 er nullpunkt.

Men det finnes, som Aleks855 sier, et teorem vi kan bruke i de tilfellene der det er vanskelig å bare "finne" et nullpunkt. (Jeg kjenner det som "Descartes rotsetning")