Bestem et mulig funksjonsuttrykk for f

[Matteergøyofte]

Hei, sliter med en oppgave hvor jeg skal finne funksjonsuttrykket til en funksjon. Følgende detaljer er oppgitt:
- f er en rasjonal funksjon
- f har nullpunktene x=-2 og x=1
- linja y=2x+6 er en vertikal asymptote
- linja x=2 er en vertikal asymptote

Hadde satt pris på om noen kunne vist meg hvordan jeg skal gjøre den ved bruk av cas.

[SpreVitenskapVidere]

Løsning
En rasjonal funksjon har vertikal asymptote i punktene der nevneren blir lik null. Siden x=2 er en vertikal asymptote så i nevneren må vi ha $x-2$ .
For at en rasjonal funksjon skal ha skrå asymptote må graden av telleren være én større enn graden av nevneren og da telleren skal være andregradsfunksjon . Siden $y=2x+6$ er en skrå asymptote så må vi ha at grensen av $f(x)-y$ når x går mot uendelig er null .

Husk når vi gjør polynomdivisjon får vi en lineær funksjon (skrå asymptote ) og en rest som er én grad mindre enn graden av nevneren (så blir konstant i dette tilfellet) .

Funksjonen gitt ved
\begin{align}
&f\left( x\right) =2x+6+\dfrac{a}{x-2}\\
&f\left( 1\right) =0\\
&2\cdot 1+6+\dfrac{a}{1-2}=6\Leftrightarrow 8+\dfrac{a}{-1}=0\\
&a=8\\
&f\left( x\right) =2x+6+\dfrac{8}{x-2}\end{align}
\begin{aligned}
&f\left( x\right) =\dfrac{\left( 2x+6\right) \left( x-2\right) +8}{x-2}\\
&=-\dfrac{2x^{2}-4x+6x-12+8}{x-2}\\
&=\dfrac{2x^{2}+2x-4}{x-2}\end{aligned}
I geogebra utklippet har jeg brukt en annen fremgangsmåte men svaret blir det sammen.
Når jeg har gjort polynomdivisjon i rad 4 får jeg en lineær funksjon $ax+ 2a+b$ som må selvfølgelig være den skrå asymptote $2x+6$ og om vi sammenligner dem sammen får vi at ,
\begin{align}
a=2\\
2a+b=6
\end{align}

Om vi setter verdiene av konstantene $a, b, c$ i funksjonen i rad 1 får vi samme funksjon som nevnt tidligere.

OBS!! Det er denne metoden som spørsmålet er ute etter siden på første metode trengte jeg ikke å bruke at $f(-2)=0$