Trigonometrisk likning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hei, har en trigonometrisk likning jeg sliter med å løse, setter veldig pris på tips til hvordan man skal løse den. Likningen skal løses for x ∈ [0, 2pi]. Vet at sin^2(x) + cos^2(x)=1, og tan = sin/cos. Har prøvd å sette inn disse verdiene i likningen, men kommer ikke fram til noe som kan brukes videre. takk.
- Vedlegg
-
- likning.JPG (10.18 kiB) Vist 3190 ganger
Her har du et klassisk tilfelle av "venstre siden er lik høyresiden i utgangspunktet, men vi har kludret den til så det ikke ser sånn ut". Så det er sant for alle $x$ i intervallet.
Fordi
$$\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{\tan^2(x)}{\sec^2(x)}=\sin^2(x)$$
Her har vi utnyttet at $$1+\tan^2(x)=\sec^2(x)$$ og $$\frac{\tan^2(x)}{\sec^2(x)}=\sin^2(x)$$
Dersom du ikke er fortrolig med sekanten kan vi skrive det ut litt mer nøye bare vha. sin og cos, slik:
[tex]\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{\tan^2(x)}{1+\frac{ \sin^2(x)}{\cos^2(x)}}=\frac{\tan^2(x)}{\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}=\frac{\tan^2(x)}{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\cdot \cos^2(x)=\sin^2(x)[/tex]
Fordi
$$\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{\tan^2(x)}{\sec^2(x)}=\sin^2(x)$$
Her har vi utnyttet at $$1+\tan^2(x)=\sec^2(x)$$ og $$\frac{\tan^2(x)}{\sec^2(x)}=\sin^2(x)$$
Dersom du ikke er fortrolig med sekanten kan vi skrive det ut litt mer nøye bare vha. sin og cos, slik:
[tex]\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{\tan^2(x)}{1+\frac{ \sin^2(x)}{\cos^2(x)}}=\frac{\tan^2(x)}{\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}=\frac{\tan^2(x)}{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\cdot \cos^2(x)=\sin^2(x)[/tex]
Takk for svar. Visste ikke at det var så lett. Problemet mitt er at jeg ikke helt forstår hvordan man går fra 1+ (sin^2(x) / cos^2(x)) til (cos^2(x)+sin^2(x)) / cos^2(x) fra andre steg til tredje steg, i nevneren på den nederste likningen din
Vi harhassam skrev:Takk for svar. Visste ikke at det var så lett. Problemet mitt er at jeg ikke helt forstår hvordan man går fra 1+ (sin^2(x) / cos^2(x)) til (cos^2(x)+sin^2(x)) / cos^2(x) fra andre steg til tredje steg, i nevneren på den nederste likningen din
$$1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$
Her er $\cos^2(x)$ felles nevner, så vi må gange og dele 1 med $\cos^2(x)$ for å kunne sette hele greia på felles brøkstrek, dvs.
$$1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}$$