Hei har ei oppgåve A6.70 Sigma R2 2015
Står litt fast her.
k = 1/2, men får ikkje s_n = 2 – 1/2^n når eg
set inn k = 1/2
Sjå mine utrekningar nedanfor.
Kva for verdi skal eg sette inn for n visst eg set inn n = 1
blir det feil
1/2^n = 2 – 1/2^n =1/2 = 3/2
A 6.70
Bevis ved matematisk induksjon at
1 + 1/2 + 1/4 + . . . + 1/2^n = 2 – 1/2^n
k = a_2/a_1 = (1/2)/1 = 1/2
k = a_3/a_2 = (1/4)/(1/2) = 1/2
s_n = a_1· (( k^n-1))/(k-1), k ≠ 1
s_n = 1· (( 〖1/2〗^n-1))/(1/(2 )-1) = (2 · (1)^n/(2)^n -1)/(1-2) = (2 · (1)^n/(2)^n -1)/(-1)
Matematisk induksjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hei! Treng meir oppklaring og hjelp
Er ikkje sikker på kva den rette oppgåveteksten på den geometriske rekkja skal vere?
Her er det noko som ikkje stemmer?
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 . . . + 1/2^(n) = 2 – 1/2^(n - 1)
k = 1/2
Korleis kan 1/2^(n) gi at a_1 = 1
Vi har a_n = a_1 · k^(n-1) = 1 · 1/2^(n-1) = (1/2)^(n -1) = (1)^( n - 1)/〖(2) 〗^(n - 1) = 1/2^(n - 1) ?
korleis kjem ein vidare her: slik eg får s_n = 2 – 1/2^(n - 1)
s_n = 1· (((1/2)^n- 1) )/(1/2 - 1) = (( - 2) · ((1/2)^n- 1))/((- 1/2) ·( - 2))
Er ikkje sikker på kva den rette oppgåveteksten på den geometriske rekkja skal vere?
Her er det noko som ikkje stemmer?
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 . . . + 1/2^(n) = 2 – 1/2^(n - 1)
k = 1/2
Korleis kan 1/2^(n) gi at a_1 = 1
Vi har a_n = a_1 · k^(n-1) = 1 · 1/2^(n-1) = (1/2)^(n -1) = (1)^( n - 1)/〖(2) 〗^(n - 1) = 1/2^(n - 1) ?
korleis kjem ein vidare her: slik eg får s_n = 2 – 1/2^(n - 1)
s_n = 1· (((1/2)^n- 1) )/(1/2 - 1) = (( - 2) · ((1/2)^n- 1))/((- 1/2) ·( - 2))
Det er jeg som har vært litt for eplekjekk her. Summen av de n + 1 første leddene (ikke de n første):
$S_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdot\,\cdot\, + \,\frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$
$S_n = S_{n +1} - a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n -1}}$
$S_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdot\,\cdot\, + \,\frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$
$S_n = S_{n +1} - a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n -1}}$
Hei!
Treng litt oppklaring her.
Sjekker først for n = 1, og venstre og høgre side blir ulike
Kva gjer ein her då, når ein ikkje kan gå til nivå B?
Finst det ein spesiell framgangsmåte ein kan nytte?
NIVÅ A: Vi kontrollerer formelen for n = 1
Vi ser at dette ikkje er rett:
NIVÅ B Kva gjer vi her når det ikkje stemmer for n = 1 på nivå A
NB! Ser at rekkja er geometrisk k = 1/2 og a_1
ser også at rekkja er:
s_n + 1 = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . +1/2^n - 1 + 1/2^n = 1 – 1/2^n
+1/2^n - 1 + 1/2^(n + 1) - 1 = 1 – 1/2^n
+1/2^n - 1 + 1/2^n= 1 – 1/2^n
Har prøvd å finne a_n og s_n men er usikker på om det eg har gjort er riktig:
det er overgangen frå s_n = 2-〖2 · 1〗^n/2^n = 2- (2^1 · 1)/2^n = 2 – 1/(2^n · 2^1 ) = 2 – 1/(2^(n - 1) )
det er overgangen a_n =(2 · (1/2)^n)/1 =(2 · 1^n)/2^n = (2^1 · 1)/2^n = 1/(2^n · 〖2 〗^(- 1) ) = 1/2^(n - 1)
a_n = a_1 · (k)^(n -1)
a_n = 1 · (1/2)^(n -1) = (1/2)^n · (1/2)^(-1) = (1/2)^n/(1/2)^1 = (1/2)^n/(1/2 · 2) = (2 · (1/2)^n)/1 =(2 · 1^n)/2^n = (2^1 · 1)/2^n = 1/(2^n · 〖2 〗^(- 1) ) = 1/2^(n - 1)
s_n = a_1· (( k^n-1))/(k-1), k ≠ 1
s_n= 1· (((1/2)^n- 1) )/(1/2 - 1) = (( - 2) · ((1/2)^n- 1))/((- 1/2) ·( - 2)) = (2 - 2 · (1/2)^n )/1 = 2-〖2 · 1〗^n/2^n = 2- (2^1 · 1)/2^n = 2 – 1/(2^n · 2^1 ) = 2 – 1/(2^(n - 1) )
Viktig for meg å ha ein oppskrift når eg skal løyse slike oppgåver:
Treng litt oppklaring her.
Sjekker først for n = 1, og venstre og høgre side blir ulike
Kva gjer ein her då, når ein ikkje kan gå til nivå B?
Finst det ein spesiell framgangsmåte ein kan nytte?
NIVÅ A: Vi kontrollerer formelen for n = 1
Vi ser at dette ikkje er rett:
NIVÅ B Kva gjer vi her når det ikkje stemmer for n = 1 på nivå A
NB! Ser at rekkja er geometrisk k = 1/2 og a_1
ser også at rekkja er:
s_n + 1 = 1 + 1/2 + 1/4 + . . . +1/2^n - 1 + 1/2^n = 1 – 1/2^n
+1/2^n - 1 + 1/2^(n + 1) - 1 = 1 – 1/2^n
+1/2^n - 1 + 1/2^n= 1 – 1/2^n
Har prøvd å finne a_n og s_n men er usikker på om det eg har gjort er riktig:
det er overgangen frå s_n = 2-〖2 · 1〗^n/2^n = 2- (2^1 · 1)/2^n = 2 – 1/(2^n · 2^1 ) = 2 – 1/(2^(n - 1) )
det er overgangen a_n =(2 · (1/2)^n)/1 =(2 · 1^n)/2^n = (2^1 · 1)/2^n = 1/(2^n · 〖2 〗^(- 1) ) = 1/2^(n - 1)
a_n = a_1 · (k)^(n -1)
a_n = 1 · (1/2)^(n -1) = (1/2)^n · (1/2)^(-1) = (1/2)^n/(1/2)^1 = (1/2)^n/(1/2 · 2) = (2 · (1/2)^n)/1 =(2 · 1^n)/2^n = (2^1 · 1)/2^n = 1/(2^n · 〖2 〗^(- 1) ) = 1/2^(n - 1)
s_n = a_1· (( k^n-1))/(k-1), k ≠ 1
s_n= 1· (((1/2)^n- 1) )/(1/2 - 1) = (( - 2) · ((1/2)^n- 1))/((- 1/2) ·( - 2)) = (2 - 2 · (1/2)^n )/1 = 2-〖2 · 1〗^n/2^n = 2- (2^1 · 1)/2^n = 2 – 1/(2^n · 2^1 ) = 2 – 1/(2^(n - 1) )
Viktig for meg å ha ein oppskrift når eg skal løyse slike oppgåver:
Takk for hjelpa
Har prøvd meg på å lage eit oppsett av løysinga på oppgåva.
Er dette eit godkjent svar på oppgåva ?
Oppgåve A 6.70 Sigma R 2 2015
Bevis ved matematisk induksjon at
1 + 1/2 + 1/4 + . . . + 1/2^n = 2 – 1/2^n
s_(n + 1) = 1+1/2+1/4 + ...+ 1/2^n = 2 – 1/2^n
s_n= s_(n + 1)-a_(n + 1) = 2 – 1/2^n – 1/2^n = 2 – 2/2^n = 2 – 1/(2^n · 〖2 〗^(- 1) ) = 2 – 1/2^(n - 1)
NIVÅ A: Vi kontrollerer formelen for n = 1, det vil seie at
a_1 = 2 – 1/2^(n - 1)
1 = 2 – 1/2^(1 - 1)
1 = 2 – 1/2^0
1 = 2 – 1
1= 1
Vi ser at dette er riktig:
NIVÅ B Vi går ut for at formelen stemmer for n. Eitt nivå høgare får vi no
Formelen stemmer for ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ↓
Venstre side: ⏞ (1 + 1/2 + 1/4 + ...+ 2 – 1/2^(n - 1) + 1/2^n ) – 1/2^n = 2 – 1/2^n – 1/2^n
= 2 – 2^1/2^n
= 2 – 1/(2^n · 2^1 )
= 2 – 1/2^(n - 1)
Høgre side: 2 – 1/2^(n - 1) + n+1 = 2 – 1/2^((n- 1))
= 2 – 1/2^(((n +1) - 1))
= 2 – 1/2^n
Altså stemmer også formelen for (n + 1).
Konklusjon:
Matematisk induksjon gir at formelen er korrekt for naturlege tal n.
Har prøvd meg på å lage eit oppsett av løysinga på oppgåva.
Er dette eit godkjent svar på oppgåva ?
Oppgåve A 6.70 Sigma R 2 2015
Bevis ved matematisk induksjon at
1 + 1/2 + 1/4 + . . . + 1/2^n = 2 – 1/2^n
s_(n + 1) = 1+1/2+1/4 + ...+ 1/2^n = 2 – 1/2^n
s_n= s_(n + 1)-a_(n + 1) = 2 – 1/2^n – 1/2^n = 2 – 2/2^n = 2 – 1/(2^n · 〖2 〗^(- 1) ) = 2 – 1/2^(n - 1)
NIVÅ A: Vi kontrollerer formelen for n = 1, det vil seie at
a_1 = 2 – 1/2^(n - 1)
1 = 2 – 1/2^(1 - 1)
1 = 2 – 1/2^0
1 = 2 – 1
1= 1
Vi ser at dette er riktig:
NIVÅ B Vi går ut for at formelen stemmer for n. Eitt nivå høgare får vi no
Formelen stemmer for ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ ↓
Venstre side: ⏞ (1 + 1/2 + 1/4 + ...+ 2 – 1/2^(n - 1) + 1/2^n ) – 1/2^n = 2 – 1/2^n – 1/2^n
= 2 – 2^1/2^n
= 2 – 1/(2^n · 2^1 )
= 2 – 1/2^(n - 1)
Høgre side: 2 – 1/2^(n - 1) + n+1 = 2 – 1/2^((n- 1))
= 2 – 1/2^(((n +1) - 1))
= 2 – 1/2^n
Altså stemmer også formelen for (n + 1).
Konklusjon:
Matematisk induksjon gir at formelen er korrekt for naturlege tal n.