Finne punkter parallelle med x-aksen v implisitt derivasjon

[Oskaroskar]

Jeg har derivert følgende funksjon implisitt og gjort det riktig men skal nå bestemme punktene på kurven som er parallelle med x-aksen. Fasiten sier jeg skal sette inn y^2 = (a^2)/2 + x^2 siden er er y' = 0. Det er greit men jeg skjønner tydeligvis ikke hvordan el hvilken likning jeg skal sette inn ifor jeg får alt annet enn svaret som skal bli (+-1/4a6^(1/2) , +-1/4a2^(1/2)), om noen kunne vist meg

Funksjonen: (x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)

2(x^2 + y^2)(2x + 2yy') = a^2(2x - 2yy')

2x^3 + 2x^2yy' + 2xy^2 + 2y^3y' = a^2x - a^2yy'

2x^3 + 2xy^2 - a^2x = -a^2yy' - 2x^2yy' - 2y^3y'

a^2x - 2x^3 - 2xy^2 = a^2yy' + 2x^2yy' + 2y^3y'

y' = x[a^2 - 2(x^2 + y^2)] / y[a^2 + 2(x^2 + y^2)]

y' = O når [a^2 - 2(x^2 + y^2)] = 0 —> y^2 = (a^2)/2 - x^2

Setter inn i den gitte likningen:

(x^2 + 1/2a^2 - x^2)^2 = a^2(x^2 - 1/2a^2 - x^2) og alle x ene bare aller bort....

[Oskaroskar]

Hadde blitt veldig glad om noen hjalp meg med denne for uansett hva og hvor jeg setter inn faller x bort og jeg blir gal av å ikke skjønne det

Takk på forhånd

[Emilga]

Funksjonen er gitt implisitt ved:

$$ (x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2) $$

Vi deriverer denne med betingelsen $ \frac{dy}{dx} = 0$, som gir oss:

$$ y^2 = \frac{a^2}{2} - x^2 $$,

eller $$x^2 + y^2 = \frac{a^2}{2}$$ som vi kan sette inn i den opprinnelige likningen:

$$ \left( \frac{a^2}{2} \right)^2 = a^2 (x^2 - y^2) $$.

Altå har vi nå de to likningene:

$$\frac{a^2}{4} = x^2 - y^2 $$
og
$$ \frac{a^2}{2} = x^2 + y^2 $$

Når vi legger sammen disse får vi:

$$\frac{3a^2}{4} = 2x^2 $$

Som kan løses for $x$.

[Oskaroskar]

Takk for godt svar. Klarer du forklare meg hvorfor man ikke kan sette y^2 = 1/2a^2 - x^2 direkte inn i likningen?

[josi]

$y^2 = \frac{a^2}2-x^2$ innsatt i $a^2(x^2-y^2)$ gir $ a^2(2x^2-\frac{a^2}2)$