Implisitt derivasjon

[Oskaroskar]

Y er def implisitt som f av x, der g er en gitt deriverbar funksjon av en variabel - finn y'
Kan noen hjelpe meg med siste innspurten. Har svaret nesten rett men jeg skjønner ikke hvorfor man skal mulitpl. g' med x i nevneren og hvor utregningen min evt. Svikter.

(xy + 1)^2 = g(x^2y)

2(xy + 1)(y + xy') = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

2xy^(2) + 2x^(2)yy' + 2y + 2xy' = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

(2xy^(2) + 2y)/(g'(x^(2)y) = 2xy + x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

(2xy^(2) + 2y - 2xy(g'(x^(2)y))/(g'(x^(2)y) = x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y) = y'x(x - 2xy -2)

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y)(x - 2xy - 2)x= y'

2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - x)g'(x^2y) = y'

Fasit; 2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - xg'(x^2y))

[Emilga]

Jeg får dette.

[Nebuchadnezzar]

Dette kan vi vel og finne via formelen. Definer

$ \hspace{1cm}
R(x,y) = (xy + 1)^2 - g(x^2y)
$

Så det du har er altså

$\hspace{1cm}
R(x,y) = 0
$

La oss implisitt derivere denne likningen med hensyn på $x$. Her må vi bruke både kjerne og produktregelen.

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0
$

Ved å løse likningen over med hensyn på $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ så er

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x} \left/ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y} \right.
$

Det er denne formelen jeg syntes det er lettere og bruke / utlede når jeg har stygge uttrykk å bruke implisitt derivasjon på. Rett frem får vi nå

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (xy + 1)^2 - g(x^2y) \right]
= 2 y(xy + 1) - 2xy g'(x^2y)
$

Mens den deriverte med hensyn på $y$ blir

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}y}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left[ (xy + 1)^2 - g(x^2y) \right]
= 2 x (xy + 1) - x^2 g'(x^2y)
$

Slik at

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}
= - \frac{2 y(xy + 1) - 2xy g'(x^2y) }{2 x (xy + 1) - x^2 g'(x^2y)}
= \frac{2y}{x} \cdot \frac{\phantom{2}(xy + 1) - x g'(x^2y) }{2 (xy + 1) - x g'(x^2y)}
$

Og å bekrefte / avkrefte at dette svaret er det samme som det emilga fikk overlater jeg til leser. Min ydmyke mening er hvertfall at dette er en enklere fremgangsmåte dersom man forstår hvorfor formelen fungerer, og hvordan den utledes.

[josi]

Y er def implisitt som f av x, der g er en gitt deriverbar funksjon av en variabel - finn y'
Kan noen hjelpe meg med siste innspurten. Har svaret nesten rett men jeg skjønner ikke hvorfor man skal mulitpl. g' med x i nevneren og hvor utregningen min evt. Svikter.

(xy + 1)^2 = g(x^2y)

2(xy + 1)(y + xy') = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

2xy^(2) + 2x^(2)yy' + 2y + 2xy' = g'(x^(2)y)(2xy + x^(2)y')

(2xy^(2) + 2y)/(g'(x^(2)y) = 2xy + x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

(2xy^(2) + 2y - 2xy(g'(x^(2)y))/(g'(x^(2)y) = x^(2)y' - 2x^(2)yy' - 2xy'

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y) = y'x(x - 2xy -2)

2y(xy + 1 - xg'(x^(2)y)/(g'(x^(2)y)(x - 2xy - 2)x= y'

2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - x)g'(x^2y) = y'

Fasit; 2y(xg'(x^2y) - xy - 1)/ x(2xy + 2 - xg'(x^2y))

Problemet oppstår i overgangen mellom tredje og fjerde linje. Når du flytter over [tex]2x^2yy´+2xy´[/tex], så glemmer du å dele dette leddet på [tex]g´(x^2y)[/tex].