Likningsett

[jespvag]

Hei, trenger hjelp med denne:

x^2+y^2=9
y+5=kx

For hvilke verdier av k har likningsettet nøyaktig én løsning?

[pi-ra]

Hva har du prøvd?

[pi-ra]

[tex]\mathbf{I} \, \, \, \, \,\, x^{2} + y^{2} = 9[/tex]
[tex]\mathbf{II} \, \, \, \, y = kx-5[/tex]

Vi bruker vanlig innsettingsmetode og setter inn likning 2 (II) inn for likning 1 og får:
[tex]x^{2} + (kx-5)^{2} = 9[/tex]
[tex]x^{2} + (k^{2}x^{2} - 2\cdot 5\cdot kx+25) = 9[/tex]
[tex]x^{2} + k^{2}x^{2} - 10kx+25 = 9[/tex]
[tex](1+k^{2}) - 10kx + 16 = 0[/tex]

For å løse denne likningen, må vi bruke abc-formelen.
[tex]\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/tex]

Det som er av interesse når vi skal finne ut når vi har kun én løsning er den delen av abc-formelen som er under kvadratroten:
[tex]b^{2}-4ac[/tex]
For at vi skal ha akkurat én løsning, så må [tex]b^{2}-4ac=0[/tex]

[tex](1+k^{2}) - 10kx + 16 = 0[/tex]
Her er [tex]a = 1+k^{2}, b=-10k, c = 16[/tex]

Vi setter inn i [tex]b^{2}-4ac = 0[/tex] og får:
[tex]100k^{2} - 4(1+k^{2})\cdot 16 = 0[/tex]
[tex]100k^{2} - 64+64k^{2}= 0[/tex]
[tex]36k^{2} - 64= 0[/tex]

[tex]36k^{2} = 64[/tex]
[tex]k^{2} = \frac{16}{9}[/tex]
[tex]k = \pm \frac{4}{3}[/tex]

[Janhaa]

Wolfram er enig :=)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... 29%5E2%3D9+

[pi-ra]

Wolfram slutter aldri å overraske