Hei.
Hvordan løser man likninger på formen [tex]sin(x)=x[/tex]?
Det er greit hvis [tex]sin(kx)=c[/tex], hvor c er en konstant, men hvordan er fremgangsmåten når vi har variablen x på høyre side? Kan selvsagt løses grafisk, men hvordan blir det ved regning?
Likningen sin(kx)=x
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Én måte å gjøre det på vil være å vise at x = 0 er en løsning. Deretter kan du vise at stigningstallet til x alltid vil være større eller lik stigningstallet til sin(x). Utifra dette må x = 0 være den eneste løsningen. Dette gjelder kun for akkurat
[tex]sin(x) = x[/tex]
Om du har noen spesifikke likninger som er på den formen er det bare å spørre
[tex]sin(x) = x[/tex]
Om du har noen spesifikke likninger som er på den formen er det bare å spørre
Det blir nok dessverre en mye vanskeligere oppgave. Generelt så løses slike oppgaver numerisk (f.eks. grafisk). Jeg kjenner ikke godt til denne typen likninger, så det er fullt mulig at de kan løses analytisk, men det vil stort sett kreve en del arbeid vil jeg anta
Jeg ville nok iterert Newtons metode til ønsket nøyaktighet her. Jeg ser heller ikke ved første øyekast hvordan denne kan løses analytisk.
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Løsningen av likningen din er umulig å skrive på lukket form http://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression.
I korte trekk er det ikke mulig å uttrykke løsningen som en sum av velkjente funksjoner, logaritmer, røtter osv.
Derimot er likningen latterlig enkel å løse numerisk, og det finnes haugevis av måter å løse den på.
For å vise at løsningen ikke er analytisk er langt,langt over videregående nivå men jeg kan prøve å gi deg
en ide om hvorfor det ikke finnes noen enkel løsning.
Først av alt så finnes det slaviske formler for å finne røttene til polynomer.
Du er sikkert allerede godt kjent med formelen for å løse polynomer av andre og første grad.
Videre så er formlene for å løse polynomer av 3 og 4 grad svært hårete.
Faktisk så viste den norske matemtikeren at det ikke finnes noe entydig og lukket uttrykk for røttene til polynomer av høyere grad.
Eksempelvis så er det ikke mulig å finne et entydig uttrykk som gir deg nullpunktene til eksempelvis et polynom av 10 grad.
Hva har dette med $\cos x$ å gjøre? Vel det er faktisk vist at dennne funksjonen kan skrives som et uendelig langt polynom på formen
$ \displaystyle
\cos x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{ (2n)! } x^{2n}
= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots
$
Ved å bruke formelen ovenfor kan vi skrive likningen $\cos x = x$ som
$ \displaystyle
1 - x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots = 0
$
Slik at hva du egentlig har er et "uendelig" stort polynom og løse
og da er det kanskje litt logisk at det ikke finnes noen fin formel som løser alle slike likninger.
Men igjen enkelt å løse numerisk
I korte trekk er det ikke mulig å uttrykke løsningen som en sum av velkjente funksjoner, logaritmer, røtter osv.
Derimot er likningen latterlig enkel å løse numerisk, og det finnes haugevis av måter å løse den på.
For å vise at løsningen ikke er analytisk er langt,langt over videregående nivå men jeg kan prøve å gi deg
en ide om hvorfor det ikke finnes noen enkel løsning.
Først av alt så finnes det slaviske formler for å finne røttene til polynomer.
Du er sikkert allerede godt kjent med formelen for å løse polynomer av andre og første grad.
Videre så er formlene for å løse polynomer av 3 og 4 grad svært hårete.
Faktisk så viste den norske matemtikeren at det ikke finnes noe entydig og lukket uttrykk for røttene til polynomer av høyere grad.
Eksempelvis så er det ikke mulig å finne et entydig uttrykk som gir deg nullpunktene til eksempelvis et polynom av 10 grad.
Hva har dette med $\cos x$ å gjøre? Vel det er faktisk vist at dennne funksjonen kan skrives som et uendelig langt polynom på formen
$ \displaystyle
\cos x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n }{ (2n)! } x^{2n}
= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots
$
Ved å bruke formelen ovenfor kan vi skrive likningen $\cos x = x$ som
$ \displaystyle
1 - x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots = 0
$
Slik at hva du egentlig har er et "uendelig" stort polynom og løse
og da er det kanskje litt logisk at det ikke finnes noen fin formel som løser alle slike likninger.
Men igjen enkelt å løse numerisk
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
