Parameterframstilling for en skjæringslinje mellom to plan

[Nebuchadnezzar]

Det gir jo litt mening å bruke lengden av vektorene. Av den enkle grunn at arealet av en trekant er gitt som 1/2 * lengden av grunnflaten * lengden av høyden. Så ja, i mine øyne gir det liten mening å regne med vektorer =)

Prøv å starte et eget emne neste gang, er ikke noen stor sak. Det bare gjør det lettere for andre å finne oppgaven din, om de sliter med det samme.

Om du ønsker å lære litt mer magi med pene formler, kan du lese den korte "bruksanvisningen her" http://i.imgur.com/UWnxf.png

Bra du fikk det til!

[Elmindreda]

Har planene
1) x+2y-3z=4
2) x-y+z=0

Skal finne parameterframstilling for skjæringslinja mellom planene.
Ved å krysse normalvektorene til planene, fant jeg retningsvektoren [1,4,3].
Så skulle jeg finne et punkt som går gjennom begge planene. Hvordan regner jeg det ut?
Prøvde å sette z=0 og brukte addisjonsmetoden, kom til feil svar..

[Nebuchadnezzar]

Uten å se utregningen din blir det vanskelig å se hvor du har gjort feil, en måte er bare å "se" løsningen. (For eksempel passer [tex](2,4,2)[/tex] inn)

En annen måte er som du skriver å la en av variablene være null. Dog ville jeg heller satt [tex]z=2[/tex], da det gir et litt lettere likningsett. Du kan sette en av variablene lik hva du vil, må ikke være null.

Men du trenger ikke sette en av variablene lik null heller. Du kan bare "løse" likningen. Slik at

[tex]x + 2y - 3z = 4 \qquad (1)[/tex]

[tex]x - y + z = 0 \qquad (2)[/tex]

---- Vi ganger likning [tex](1)[/tex] med [tex]-1[/tex] og legger den til likning [tex](2)[/tex]

[tex]x + 2y - 3z = 4 \qquad (1) [/tex]

[tex]0 - 3y + 4z = -4 \qquad (2)[/tex]

---- Vi deler likning [tex](2)[/tex] på [tex]3[/tex].

[tex]x + 2y - 3z = 4 \qquad (1)[/tex]

[tex] - y + \frac{4}{3}z = -\frac{4}{3} \qquad (2)[/tex]

---- Vi ganger likning [tex](2)[/tex] med [tex]2[/tex] og legger den til likning [tex](1)[/tex].

[tex]x + 0y - \frac{1}{3}z = \frac{4}{3} \qquad (1)[/tex]

[tex]-y + \frac{4}{3}z = -\frac{4}{3} \qquad (2)[/tex]

---- Vi ganger likning [tex](2)[/tex] med [tex]-1[/tex]

[tex]x - \frac{1}{3}z = \frac{4}{3} \qquad (1)[/tex]

[tex]y - \frac{3}{4}z = \frac{4}{3} \qquad (2)[/tex]

Dersom vi nå setter [tex]z=t[/tex], altså en fri variabel. Blir alle løsningene

[tex]\Large x = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}t \quad , \quad y = \frac{4}{3} + \frac{4}{3}t \quad , \quad z = t[/tex]

[Elmindreda]

Betyr det at når jeg løser slike liknigsett, så kan jeg gange og dele med hva jeg vil?
Jeg satt [tex]z=0[/tex] fordi den er null i fasiten, [tex](\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0)[/tex].
Nå etter å ha sett måten du løste oppgaven på, prøvde jeg å løse den om igjen med [tex]z=0[/tex].

[tex]x+2y-4=0[/tex]
[tex]x-y=0[/tex]

Ganger likning [tex](1)[/tex] med [tex]-1[/tex] og setter den i likning [tex](2)[/tex]
Da får jeg

[tex]-3y+4=0[/tex]
[tex]-3y=-4[/tex]
[tex]y= \frac{4}{3}[/tex]

Når jeg setter [tex]y= \frac{4}{3}[/tex] i likning [tex](2)[/tex] for å finne [tex]x[/tex], får jeg:
[tex]x=\frac{4}{3}[/tex]

Dette svaret stemmer med fasiten, så jeg regner med at det også er riktig? Og da betyr det at det kan være flere løsninger enn bare en, eller ikke?

[Nebuchadnezzar]

Dette er jo to plan som krysser hverandre, og disse to planene danner ei linje. I ei linje er det jo uendelig mange punkter ikke sant? Så da gir det mening at det er uendelig mange løsninger

Videre er metoden din helt rett =)

En kan vel også tenke på det slik, så lenge en har flere ukjente enn likninger så kan vi få uendelig antall løsninger.

Setter du t=0 i uttrykket jeg kom frem til får du også det samme som i fasit. Men det er like rett å bruke for eksempel (2,4,2)

[Elmindreda]

Nå begynner det å hjelpe.
Takk for svarene!