R1 eksamen 27/5 -2010

[Erikj]

Legger bare ut DEL1.
DEL2 legger jeg ut senere.

Oppgave 1.
a) Deriver funksjonene:
1) [tex]f(x) = x^3*lnx[/tex]
2) [tex]g(x) = 4e^{(x^2 - 3x)}[/tex]

b) Vi har polynomfunksjonen [tex]P(x) = x^3 + 4x^2 - 4x + 16[/tex]
1) Regn ut P(2). Bruk polynomdivisjon til å faktorisere utrykket P(x) i førstegradfaktorer.
2) Løs ulikheten [tex]P(x) \leq 0[/tex]

c) Nedenfor er det gitt to utsagn. Skriv av utsagnene i besvarelsen. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene [tex]\Leftarrow , \Rightarrow eller \Leftrightarrow[/tex]

Per er fra Bergen [ ] Per er fra Norge.

Forklar hvordan du har tenkt.

d) Vi har vektoren [tex]\vec{a} = [3, 5][/tex]
1) En vektor [tex]\vec{b}[/tex] er dobbelt så lang som vektor [tex]\vec{a}[/tex] og har motsatt retning av [tex]\vec{a}[/tex].
Skriv [tex]\vec{b}[/tex] på kordinatform.

2)Finn koordinatene til en vektor [tex]\vec{c}[/tex] som står normalt på [tex]\vec{a}[/tex]

e) Løs likningen [tex]4*{(1+x/100)}^4 = 64[/tex]

f) I en sirkel med radius r er det innskrevet en trekant ABS. Lengden til radien er gitt til høyre. |--------------------|
Siden AB i trekanten er [tex]3/2 r[/tex], og [tex]\angle{ABC} = 45º[/tex]
Konstruer trekanten. Forklar konstruksjonen.

Oppgave 2.
Den deriverte til en polynomfunksjon f er gitt ved
[tex] f'(x) = 2(x + 1)(x - 3)[/tex]
a) Bruk utrykket til å finne ut hvor funksjonen f vokser og hvor den avtar. Bestem også førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til f.

b) Bestem [tex]f''(x)[/tex]. Bruk [tex]f''(x)[/tex] til å finne førstekoordinatene til vendpunktet på grafen til f.

Den deriverte til en polynomfunksjon g er gitt ved
[tex]g'(x) = a*(x-b)(x-c)[/tex]
der konstantene a, b og c alle er positive. Vi antar at b < c. Førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til g er [tex]x_{maks}[/tex] og [tex]x_{min}[/tex].

c) Forklar hvorfor grafen til g bare kan ha ett vendepunkt. Vis at førstekoordinaten til dette vendepunktet ligger midt mellom [tex]x_{maks}[/tex] og [tex]x_{min}[/tex].

[Dina123]

hvordan gikk det på eksamen, jeg hadde også eksamen

[Erikj]

gikk ganske greit for meg. Hoppa glatt over oppgave 3 på del 2 (tippekupong-oppgaven).
Bortsett fra det svarte jeg helt greit på alle oppgavene.
Ikke så fornøyd med den siste oppgaven.

På del 1 tenker jeg at alt ble rett, litt svak forklaring på den siste, men ellers alt rett tror jeg.

Ganske lett eksamen.

[Dina123]

jeg er helt enig med deg på den siste oppgaven, for meg gikk det også greit.

[RKT]

Enig i at den sannsynlighetsoppgaven var rar og den siste ble også litt rotete. Del en var også helt grei. Synes det var mye geometri og bevis("vis at..") type oppgaver. Fint å bli ferdig med den da. : )

[Gommle]

Oppgave 1.
a) Deriver funksjonene:
1) [tex]f(x) = x^3*lnx[/tex]

Bruker produktregelen:
[tex]3x^2\cdot lnx + \frac{x^3}{x} = 3x^2\cdot lnx + x^2 = x^2(3lnx+1)[/tex]

2) [tex]g(x) = 4e^{(x^2 - 3x)}[/tex]

Bruker kjerneregelen
[tex]4e^{x^2 - 3x}\cdot(2x-3)[/tex]

b) Vi har polynomfunksjonen [tex]P(x) = x^3 + 4x^2 - 4x - 16[/tex]
1) Regn ut P(2). Bruk polynomdivisjon til å faktorisere utrykket P(x) i førstegradfaktorer.

[tex]8+16-8-16 = 0[/tex]
Da er er [tex](x-2).[/tex] en faktor

Kode: Velg alt

x^3 + 4x^2 - 4x - 16 : x - 2 = x^2 + 6x + 8
 x^3 - 2x^2
 ----------
       6x^2 - 4x
       6x^2 -12x
       ---------
              8x - 16
              8x - 16
              -------
                    0

Og vi får (x-2)(x+2)(x+4)

[Realist1]

Oppgave 1.
...
[tex]3x^2\cdot lnx + x^2 = x^3(3lnx+1)[/tex]

[tex]x^2(3lnx+1)[/tex]

[okrepp]

Har skannet og lagt ut hele settet her.
http://home.online.no/~lomfjel

Løs gjerne oppg. 3 om du føler for det! Hadde vært interessant å sett hvordan den egentlig skal løses!

[Nebuchadnezzar]

Den var jo lett, trenger jo nesten ikke kalk :p

Oppgave 3

[tex]a) \qquad {{12}\choose{5}}=792[/tex]

[tex]b) \qquad 2^7=128[/tex]

[tex]c) \qquad \frac{{{12}\choose{5}} \, \cdot \, 2^7}{3^{12}}\;=\;\frac{11264}{59049}[/tex]

Oppgave 6?

[tex]f(n)=4^n - 1[/tex]

[tex]f(0)=0 \qquad f(1)=3 \qquad f(2)=15 \qquad (3)=63 \qquad f(4)=255[/tex]

[tex] 4^n - 1 = 2^{2n} - 1 = \left( {2^n } \right)^2 - 1 = \left( {2^n - 1} \right)\left( {2^n + 1} \right) [/tex]

[tex] 2^n {\rm{ }}vil{\rm{ }}aldri{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3{\rm{ }}fordi{\rm{ }}2^n {\rm{ }}best{\aa}r{\rm{ }}kunn{\rm{ }}av{\rm{ }}faktorer{\rm{ }}av{\rm{ }}2 [/tex]

[tex] 2^n {\rm{ }}vil{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}et{\rm{ }}partall [/tex]

[tex] 2^n + 1{\rm{ }}og{\rm{ }}2^n - 1{\rm{ }}vil{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}to{\rm{ }}p{\aa}f{\o}\lg ende{\rm{ }}od\det all [/tex]

[tex] Blant{\rm{ }}3{\rm{ p{\aa}f{\o}lgende }}tall,{\rm{ }}vil{\rm{ }}et{\rm{ }}av{\rm{ }}de{\rm{ }}alltid{\rm{ }}v\ae re{\rm{ }}delig{\rm{ }}p{\aa}{\rm{ }}3 [/tex]

[tex] 2^n - 1,2^n ,2^n + 1{\rm{ }}er{\rm{ }}tre{\rm{ p{\aa}f{\o}lgende }}tall{\rm{ }} [/tex]

Dermed vil [tex]4^n - 1[/tex] alltid være dellig på 3 når[tex]n\geq0[/tex]

[okrepp]

Jeg tenkte også at 2[sup]n[/sup] alltid vil være partall, men det finnes jo partall som er delelige på 3

[Erikj]

Ingen tall i totallsystemet er delelig med 3, men klarte ikke forklare det, bare konstaterte det.

[Fibonacci92]

For at et tall skal være delelig med 3 må det være på formen 3k.

Å dele kan kanskje sees på som å ta vekk noen faktorer. I dette tilfellet 3.

2^n har opplagt ingen 3-erfaktor

[simdude]

Oppgave 3c:

Er ikke dette et binomisk tilfelle?

(12) x (1/3)^5 x (2/3)^7, svarte jeg...
5

[Janhaa]

Oppgave 3c:
Er ikke dette et binomisk tilfelle?
(12) x (1/3)^5 x (2/3)^7, svarte jeg...
5

blir samme svar som Nebu. sitt over ...

[Nebuchadnezzar]

Da er endelig løsningsforslaget oppe ^^

http://www.viewdocsonline.com/document/32138109

Kan sikkert legge ved en nedlastings link og, men vet ikke om noen sider som tillater direkte linking for små filer...


Kan noen være så snill å si om de finner noen feil ?

Lurer litt på oppgave 4 og bevisføringen min på 6 og 7.