Kontroll av oppgaver! (har ikke fasit:/)

[Genius-Boy]

Hei, jeg driver med en øvelseprøve her i funksjonsdrøfting, og jeg har da prøvd å løse 5 oppgaver. Jeg har ikke fasit, så jeg hadde satt veldig mye pris på om noen kunne sjekke svarene mine og rette de hvis de er feil.
Trykk på linkene etter hver oppg for å se mine løsninger.

Oppgave 1

Ta for dere følgende funksjon: f (x) = x^3 - 3x^2 + 4
a) Funksjonen har et nullpunkt ved x = - 1. Bestem eventuelle andre nullpunkter.
b) Finn eventuelle topp- og bunnpunkt til f ved regning. Avgjør hvor grafen til f stiger og synker.
c) Finn eventuelle vendepunkter på grafen til f ved regning. Bestem hvor kurven er konveks, og hvor den er konkav.
d) Skissér grafen til f .
e) Finn alle tangenter til funksjonen med stigningstall a, slik at |a| = 3.
(er usikker på hvordan jeg skal svare på det med når grafen stiger/synker?)

Mine løsninger:
http://img101.imageshack.us/i/oppg11.jpg/
http://img708.imageshack.us/i/oppg12.jpg/
http://img265.imageshack.us/i/oppg13.jpg/


Oppgave 2

Funksjonen g er gitt ved g(x) = ln(x^2 - 4x +5)
a) Bestem definisjonsmengden til g
b) Finn eventuelle topp og bunnpunkt til g
c) Finn nullpunktene til funksjonen ved regning
d) Finn eventuelle vertikale og horisontale asymptoter til funksjonen
Mine løsninger:
http://img229.imageshack.us/img229/5676/oppg2.jpg

Oppgave 3

a) Forklar hvordan en funksjon kan være kontinuerlig, men ikke derivérbar. Tegnen graf som viser hvordan.
b) Gi et eksempel på en ikke-kontinuerlig funksjon.
Mine løsninger:
http://img682.imageshack.us/img682/4362/oppg3.jpg

Oppgave 4

Funksjonen f er gitt ved
[tex]f(x)=\frac{x}{x^{3}-{3x^{2}+4}}[/tex]
Finn eventuelle asymptoter til funksjonen.
Mine løsninger:
http://img179.imageshack.us/i/oppg41.jpg/
http://img338.imageshack.us/i/oppg42oppg5.jpg/

Oppgave 5

Når produsenter av bildeler prøver å finne ut av hvor lang tid det tar før en komponent feiler, bruker de en sannsynlighetsfordeling som kalles Weibull-fordelingen. I dette tilfellet skal vi se på bilprodusenten Toyota sine gasspedaler.

Vi antar at sannsynligheten for feil, etter t år er gitt ved:

[tex]P(t)=te^-{\frac{t^2}{2}[/tex]

[tex]t\geq{0}[/tex]

a) Etter hvor lang tid er sannsynligheten størst for at gasspedalen feiler?
b) Når minker sannsynligheten for feil mest?
c) Hva kan du fortelle om krumningen til grafen til P?
d) Hva er verdimengden til P?
Mine løsninger:
http://img338.imageshack.us/i/oppg42oppg5.jpg/

Oppgavene jeg ikke skjønte i det hele tatt er 1e, 2d, 3b og mesteparten av 5!

Takker for alle raske svar, jeg må(!) få kontrollert at jeg gjør det riktig og svar på de jeg ikke fikk til!

[Nebuchadnezzar]

Skal svare deg utfyllende i morgen, i mellomtiden kan du sjekke her

www.wolframalpha.com

Mye av det du har gjort ser riktig ut, selv om en del kunne vært gjort lettere ^^

[Nebuchadnezzar]

Oppgave1
a) [tex]f(x)=x^3-3x^2+4[/tex]
Jeg har lært at dette er formen til en funksjon som har et dobbelt nullpunkt og et vanlig nullpunkt. Det trenger du deg ikke å bry deg om.
Om alle løsningene er reelle må de gi +4 når vi ganger de sammen
Kan skrive opp alternativene men dette kan raskt tas i hodet
[tex]1 \, (x-1)(x-2)(x+2)[/tex] for eksempel [tex]-1*-2*2 = 4[/tex] osv
[tex]2 \, (x+1)(x-2)(x-2)[/tex]
[tex]3 \, (x+1)(x+1)(x+4)[/tex]
[tex]4 \, (x-1)(x-1)(x+4)[/tex]
[tex]5 \, (x+1)(x-1)(x-4)[/tex]
Siden en av løsningene er x=-1 må enten 2 , 3 eller 4 være riktig. Så sjekker vi ved å putte inn x=2 og ser at dette gir 0. Så deriverer vi funksjonen og finner ut at x=2 også er et bunnpunkt som betyr at nullpunktene til
[tex]f(x)[/tex] er [tex]x=-1 \; \vee \; x=2[/tex]

b) er gjort helt riktig og får å skrive hvor grafen synker og stiger skriver jeg det slik. Om det er helt riktig måte tviler jeg på, men har aldri fått trekk for det på prøver eller noen negative tilbakemeldinger fra læreren

f(x) vokser når [tex]x<0[/tex] eller [tex]x>2[/tex]
f(x) synker når [tex]0<x<2[/tex]

c) Vendepunkter er funnet riktig
Konkav når x<1
Konveks når x>1

d) Gjort riktig

e) Tror det er dette de mener ja. Altså [tex]\pm 3[/tex]

Oppgave 2

a)
[tex]g(x) = ln(x^2 - 4x +5) [/tex]

Vi skal finne definisjonsmengden til denne funksjonen. Altså når den er definert. Når er en logaritmefunksjon definert ? Jo når den er større enn null.

[tex]g(x) = ln(x^2 - 4x +5) [/tex]
[tex]g(x) = ln(x-2+i)(x-2-i)[/tex]

Altså er [tex]g(x)[/tex] definert for alle verdier av [tex]x[/tex] siden [tex]x^2 - 4x +5[/tex] aldri blir mindre enn null.

b) Bunnpunktet er riktig [tex](2,0)[/tex]

c) Nullpunktet er også riktig [tex](2,0)[/tex]

d) Hva skjer med funksjonen når [tex] x\to \infty [/tex] ?

Oppgave 3

Om en funksjon har et brudd så er den ikke kontinuerlig.

Oppgave 4

a) Her trenger du jo bare å se at funksjonen er den samme som i oppgave 1. Da slipper du å finne nullpunktene igjen

Men asymptotene er helt riktig.
Skader ikke med en tegning som viser at du har rett ^^

Oppgave 5

a) Her må du finne toppunktet ja. Kan bare ta å derivere den for deg siden det virket som du hadde litt problemer ^^

[tex] h\left( t \right) = t \cdot e^{ - \frac{1}{2}t^2 } [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{du}}{{dx}}v + \frac{{du}}{{dx}}u [/tex]

[tex]u = t{\rm{ og }}\frac{{du}}{{dx}} = 1{\rm{ }}v = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } {\rm{ og }}\frac{{dv}}{{dx}} = - te^{ - \frac{1}{2}t^2 }[/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}h\left( t \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {t \cdot e^{ - \frac{1}{2}t^2 } } \right) = \left( 1 \right)\left( {e^{ - \frac{1}{2}t^2 } } \right) + t\left( { - te^{ - \frac{1}{2}t^2 } } \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } - t^2 e^{ - \frac{1}{2}t^2 } = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \left( {1 - t^2 } \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \left( {1 - t} \right)\left( {1 + t} \right) [/tex]

Sannsynligheter er gitt fra [tex]0[/tex] til [tex]1[/tex]. Og [tex]t>0[/tex] dermed må toppunktet være når [tex]t=1[/tex]. Så trenger du bare å finne [tex]h(1)[/tex]

b) Her må du finne den dobbelderiverte og sette denne li null. Svaret du får putter du inn i den deriverte.

c) Her drøfter du bare den dobbelderiverte, altså krummningen til grafen

d) Verdimengden er alle y verdier funksjonen kan ha. Altså bunnen til toppen. Her er laveste verdi 0 og maksverdien er selvfølgelig [tex]y[/tex] verdien til toppunktet.

Tror det var alt, må løpe så får ikke sett over. Om du finner noen feil er det bare å skrike!

[Genius-Boy]

Tusen takk for responsen! Men en del ting jeg lurer på:

1e) Jeg tenkte også her at det er når stigningstallet er +3 el -3. Men hvordan finner jeg tangentene ut fra det, selve regninga?

2d) Er dt ikke sånn at x --> uendelig, så blir også denne funksjonen større og større - vokser den? ... Jeg satte inn større og større verdier for x i funksjonen og da ble tallet større..? Men hvordan finner jeg asymptotene ut i fra det, det skjønner jeg ikke - igjen regninga?

3) a) Jeg skjønner at en funksjon kan være kontinuerlig , men ikke deriverbar. Det er noe jeg vet - men jeg vet ikke hvorfor? Vet du noe om hvorfor det er slik? Er grafen jeg tegnet som et eks riktig her?
b)Hvordan forklarer man en ikke kontinuerlig funksjon - er eksempel jeg ga der riktig?

4) En tegning? Mener du at jeg skal tegne asymptotene da(ved å se på kalkulatoren da eller)?

5) Deriverte jeg uttrykket feil? Jeg fikk e^(t^2/2)*(1-x^2) - er det feil?
Finne h(1) - hvor fikk du "h" fra? har du et konkret svar på 5b her?

Vet jeg spør mye, men tusen takk - dette hjelper mye! ^^

[/i]

[Nebuchadnezzar]

Yawn, var litt sjapp i svingene men skal se om jeg kan svare deg så godt jeg kan.

1e) Om man har to punkter så finner jo man stigningstallet ved
[tex]a=\frac{x_1-x}{y_1-y}[/tex]
Om man isolerer uttrykket for y så får vi
[tex]y=a(x-x_1)+y_1[/tex]
Som faktisk er formelen for en rett linje!
En annen måte å skrive det ovenfor på er

[tex]y=f^{\tiny\prime}(n)(x-n)+f(n)[/tex]

For å finne tangenten til et punkt bruker du bare formelen ovenfor å putter inn det du vet. n er bare x verdien til det punktet du vil finne tangenten til.

2d) Var litt rask her, mente at du skulle se hva som skjedd med funksjonen når den nærmet seg 0.

Denne funksjonen har bare en asymptote og den er vertikal [tex]x=0[/tex]. Det er fordi at funksjonen aldri kan bli 0, men den kan nærme seg det. Altså kan vi si at 0 er en grenseverdi for funksjonen.

3a) En funksjon er vell alltid deriverbar, men ikke alltid deriverbar i alle punkter

[tex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x^2 - 4x{\rm{ \, \,}}\,\,\,x > - 1 \\ - x - 6{\rm{ }}x \le - 1 \\ \end{array} \right.[/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 4{\rm{ \, }}x > - 1 \\ - 1{\rm{ }}x \le - 1 \\ \end{array} \right. [/tex]

Klarer ikke helt å forklare det med ord. Men om du ser på dette eksempelet her så er funksjonen kontinuerlig, men ikke deriverbar. Grunnen til at den ikke er deriverbar er at grafen krummer seg annerledes i "bruddpunktet" Altså stigningstallet er forskjellig.

4a) Alltid når jeg begynner på slike oppgaver tegner jeg grafen, enten med kalkulator, maple, geogebra eller wolfram alpha. Dette hjelper meg mye fordi at jeg vet om jeg får et riv ruskende galt svar.
Du trenger ikke å gjøre det, men jeg syntes at det hjelper ^^

5) Når jeg tenker meg om har du derivert riktig, så bare litt rotete ut. når jeg skrev h(1) var jeg litt rask, og mente selvfølgelig å finne [tex]P(1)[/tex] og [tex]P^{\tiny\prime}(1)[/tex]

[tex] P\left( t \right) = t \cdot e^{ - \frac{1}{2}t^2 } [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}P\left( t \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \left( {1 - t^2 } \right) [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{du}}{{dx}}v + u\frac{{dv}}{{dx}} [/tex]

[tex] u = \left( {1 - t^2 } \right){\rm{ og }}\frac{{du}}{{dx}} = \left( { - 2t} \right){\rm{ | }}v = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } {\rm{ og }}\frac{{dv}}{{dx}} = - t \cdot e^{ - \frac{1}{2}t^2 } [/tex]

[tex] \frac{{d^2 }}{{d^2 x}}P\left( t \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\left( {1 - t^2 } \right)e^{ - \frac{1}{2}t^2 } } \right) = \left( { - 2t} \right)\left( {e^{ - \frac{1}{2}t^2 } } \right) + \left( {1 - t^2 } \right)\left( { - t \cdot e^{ - \frac{1}{2}t^2 } } \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \left( {\left( { - 2t} \right)\left( 1 \right) + \left( {1 - t^2 } \right)\left( { - t \cdot 1} \right)} \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \left( { - 3 + t^2 } \right)t [/tex]

[tex] \frac{{d^2 }}{{d^2 x}}P\left( t \right) = 0{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \pm \sqrt 3 {\rm{ }} \vee \, t = 0 \[/tex]

Så blir din jobb å finne ut hvilke av disse tre svarene som gjør at sannsynligheten for feil minker raskest.

[Genius-Boy]

1e) Jeg brukte formelen for en rett linje: y-y1 = a(x-x1)
Jeg valgte å sette inn verdiene fra vendepunktet her, dvs: (1,2). Er det riktig å gjøre det? Da finner man vendetangenten, og er det riktig?

Først tok jeg da stigningstallet a er -3:

y-2 = -3(x-1)
y = -3x+5 --> (vende)tangenten da a = -3. Er den riktig?

Stigningstall a= 3

y-2 = 3(x-1)
y = 3x-1 ---> her gjorde jeg akkurat dt samme som den forrige, men satte inn 3 i stedet for -3. Men denne virket litt feil da jeg så på kalkulatoren.

Greia er: Hvilke verdier er det jeg skal sette inn for x1 og y1 i denne formelen? Jeg kan vel ikke velge hvem som helst, fordi stigningstallet må jo være 3/-3?

Håper du kunne vise dette, hvilke tall settes inn - og er jeg helt på villspor eller er det noe riktig?

2e) nullpunktet (2,0) er riktig sier du det jeg har regnet, men tidligere i oppgaven sier du at logaritmefunksjonen aldri er mindre enn null, den er definert når den er større enn null - er det ikke slik at den ikke har et nullpunkt da? ... men i følge regninga blir det jo ett. ?

Håper på raskt svar!

[Nebuchadnezzar]

[tex]x_1[/tex] er [tex]x[/tex] verdien til punktet du prøver å finne tangenten til, [tex]y_1[/tex] er [tex]y[/tex] verdien til punktet du prøver å finne tangenten til. Og [tex]a[/tex] er stigningstallet til [tex]x[/tex] verdien du prøver å finne tangenten til.

Kan jo gjøre et eksempel, ikke langt unna ditt

[tex]f(x) = x^3 - 3x^2 + 4[/tex]

Gitt funksjonen f(x) finn tangenten når x er 3

[tex] f\left( x \right) = x^3 - 3x^2 + 4{\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 3x^2 - 6x [/tex]

[tex] y - y_1 = a\left( {x - x_1 } \right) [/tex]

[tex] y_1 = f\left( 3 \right) = 3^3 - 3\left( {3^2 } \right) + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 [/tex]

[tex] x_1 = 3 [/tex]

[tex] a = f^{\tiny\prime}\left( 3 \right) = 3\left( {3^2 } \right) - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9 [/tex]

[tex]y - y_1 = a\left( {x - x_1 } \right) [/tex]

[tex] y - 4 = 9\left( {x - 3} \right) [/tex]

[tex] y = \left( {9x - 27} \right) + 4 [/tex]

[tex]\underline{\underline {{\rm{ }}y = 9x - 23{\rm{ }}}} [/tex]

Løs den likningen, ja du får 4 svar. Da finner du ut for hvilke x verdi stigningstallet er [tex]\pm 3[/tex]

Herfra går det jo lett å finne [tex]y[/tex] verdien, også kan du bruke ettpunktsformelen til å finne tangentene.

-----------------------------------------------------

Leste litt feil, men kan fortsatt svare deg. De spørr om når stigningstallet er [tex]\pm 3[/tex] stigningstallet er jo gitt ved den deriverte. Så det er bare å spørre seg selv, for hvilke x verdi er stigningstallet [tex]\pm3?[/tex]. Sagt med andre ord, når er den deriverte lik [tex]\pm3[/tex]

[tex] |a| = 3 \Rightarrow a = \pm 3 [/tex]

[tex] f\left( x \right) = x^3 - 3x^2 + 4{\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 3x^2 - 6x [/tex]

[tex] a = f^{\tiny\prime}\left( x \right) [/tex]

[tex] \pm 3 = 3x^2 - 6x [/tex]

[tex] 0 = 3x^2 - 6x \pm 3 [/tex]

-----------------------------------------------------

2e) Det jeg mener er at du aldri kan ta logaritmen til et negativt tall, for eksempel [tex]\log(-5)[/tex]. Funksjonen kan jo selvfølgelig være under [tex]x[/tex] aksen, men den kan aldri være på venstre side av [tex]y[/tex] aksen.

[Genius-Boy]

1e) Du sier når den deriverte er lik + el -3:

a=3:
3x^2-6x-3 = 0
x1= 2,41 eller x2=-0,41

a=-3
3x^2-6x+3 = 0
x = 1.

Ved disse x-verdiene er den deriverte lik null. Skal jeg sette alle disse verdiene inn i ettpunktsformelen? Hva gjør jeg videre?

- når x= 2,41 er y=0,57
- x = -0,41 da er y=3,4
- x=1 da er y=2 ..... .Skal jeg bruke noe av dette videre, hvordan? Og alt det jeg gjorde føsrt var feil da, skal ikke bruke noe av det fra vendepunktet?
Sorry for at jeg maser så mye, men jeg vil klare denne riktig! ^^

[Genius-Boy]

5b) Jeg dobbelderiverte uttrykket og da fikk jeg dette, se under. Det ble noe annet enn det du fikk for den dobbelderiverte, hva har jeg gjort feil? - følte at jeg gjorde det ganske riktig, men ble ikke det samme som deg.

http://img202.imageshack.us/img202/5789 ... rivert.jpg

Og videre skal jeg bare sette uttrykket lik null, hvordan regner du med all det? Det blir jo et litt rart dobbelderivert - uttrykk.
..I 5a så ble tiden t = 1 år og når du sier finn P(1) - da mener du bare vel y-verdien. ved t=1 blir den på kalkultatoren 0,6. Riktig? Hvorfor skal jeg finne P'(1) - til hvilken oppgave er det?

Takker! =)

[Nebuchadnezzar]

1e) Flott, da har du funnet punktene! det du har funnet er [tex]x_1[/tex], og [tex]y_1[/tex] og [tex]a[/tex] vet du jo allerede. Da gjenstår det bare å bruke formelen.

Kan ta den første for deg, så klarer sikker du de to andre.

[tex] 3x^2 - 6x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 [/tex]

[tex] Da{\rm{ velger jeg 1 + }}\sqrt 2 [/tex]

[tex] f\left( x \right) = x^3 - 3x^2 + 4 [/tex]

[tex] y_1 = f\left( {{\rm{1 + }}\sqrt 2 } \right) = \left( {{\rm{1 + }}\sqrt 2 } \right)^3 - 3\left( {{\rm{1 + }}\sqrt 2 } \right)^2 + 4 = {\rm{2}} - \sqrt 2 [/tex]

[tex] y - y_1 = a\left( {x - x_1 } \right) [/tex]

[tex] y - \left( {{\rm{2}} - \sqrt 2 } \right) = \left( 3 \right)\left( {x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right) [/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ }}y = 3x - 1 - 4\sqrt {2{\rm{ }}} }} [/tex]


5b)

Du har derivert helt riktig, men du kan trekke sammen litt mer.

[tex]e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \cdot \left( {\left( { - t + t^3 } \right) - 2t} \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \cdot \left( { - t + t^3 - 2t} \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \cdot \left( {t^3 - 3t} \right) = e^{ - \frac{1}{2}t^2 } \cdot \left( {t^2 - 3} \right)t[/tex]

[tex]a\cdot b=0[/tex] Dersom [tex]a \cdot b[/tex] skal være lik null,betyr det at enten a eller b er lik null. I uttrykket ditt betyr det at enten er

[tex]e^{1/2t^2}=0[/tex] eller [tex]t=0[/tex] eller [tex]t^2-3=0 [/tex]

Så løser du disse, og da finner du nullpunktene til den dobbelderiverte. Den dobbelderiverte er forandringen til den deriverte. Sagt med andre ord hvor fort eller hvor sakte den deriverte forandrer seg.

Når du har funnet nullpunktene lager du en fortegnslinje, eller putter nullpunktene inn i den deriverte. For å se hvilke av de som gir den laveste verdien. For oppgaven spør jo etter når den deriverte minker raskest.
Altså når sjansen for feil minker raskest.

Tror det var alt ^^

[Genius-Boy]

jf

[Genius-Boy]

Er svarene mine riktig, her?

1e)

Tangentene jeg fikk:
når a= 3

1) 3x-6,6443

2) 3x+4,6568

når a= -3

3) -3x+5.

Pst: Hvor "nøye" skal jeg være med desimaltall her, er det greit om jeg skriver det slik jeg har gjort, eller bør jeg avrunde(evt til hva)?

5b) Jeg satte inn nullpunktene(0, - √ 3 og √ 3 i den førstederiverte: e^((-t^2)/(2))*(1-t^2).

f'( √3) = -0,446

f'(- √ 3) = -0,446

f'(0) = 1.

nullpunktene - √ 3 og √ 3 har begge like store verdier, hvilken skal jeg velge da? Siden t var definert for større/eller lik 0 må jeg vel velge den "positive" √ 3 da eller?

Spm her var "når minker sannsyn for feil mest" - skal jeg da svare når t= √ 3 i den deriverte. det er vel dt som er tiden?


5c) Skal jeg si noe konkret om krumningen til den dobbelderiverte her? Det står krumningen til grafen til P, det er vel den originale grafen jeg skal diskutere her??


Takktakk, håper på raskt svar!

[Nebuchadnezzar]

1e) Er riktig, men jeg oppgir aldri svaret mitt i desimaler. Ikke når det gjelder funksjoner. Da er det bare en ting som gjelder eksakte verdier.

Anbefaler siden www.wolframalpha.com om du ikke har en kalkulator som også gir deg eksakt verdier.

5b) [tex]\sqrt{3}[/tex] er det endelige svaret ja. Her kan det være lurt å runde av til nærmeste år.

Sannsynligheten for feil minker raskest etter [tex]\sqrt{3}[/tex] år eller ca 1år og 8 måneder

5c) Her skal du finne ut alle y verdiene funksjonen kan ha. Altså har det ingenting med den dobbelderiverte eller krummningen av grafen å gjøre.

[Genius-Boy]

5c) Men oppg er jo "Hva kan du fortelle om krumningen til grafen til P?" - det har med krumningen av grafen til funksjonen P(t) å gjøre da- det er den jeg skal skrive om?

[Nebuchadnezzar]

Trodde du mente 5d) Beklager

5c) Hva kan du si om krummningen til grafen.
1) Dobbelderiver funksjonen
2) Lag fortegnskjema
3) Bestem når funksjonen er konkav eller konveks

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=175