Rekker

[Guro90]

Jeg har heldagsprøve i R2 på tirsdag, så jeg kommer sikkert til å spørre masse spørsmål idag og imorgen! Jeg har to spørsmål nå:

Leddene i en rekke er gitt ved

a(i)=1/i^2 - 1/(i+1)^2

Vis at summen av de n første leddene er gitt ved

s(n) = 1 - 1/(n+1)^2

Hvordan??

og

Finn summen:
(1 - 1/5) + (1/2 - 1/6) + (1/3 - 1/7) + ... + (1/996 - 1/1000)

Boken lærer egentlig bare hvordan man gjør med rekker som har en fast differanse eller kvotient, så jeg sitter litt fast på disse to oppgavene..

[Gustav]

[tex]\sum_{i=1}^n\,\frac1{i^2} - \frac1{(i+1)^2}[/tex]

Det er en teleskoperende rekke der de fleste leddene går bort.

De eneste leddene som ikke kanselleres er 1 og [tex]-\frac{1}{(1+n)^2}[/tex]

[Guro90]

Hvorfor går de fleste leddene bort? Og hvordan kan jeg vise det?

[Emilga]

[tex]\sum_{i=1}^n\,\frac1{i^2} - \frac1{(i+1)^2} = \frac1{1^2} \cancel{- \frac1{(1+1)^2} + \frac1{2^2}} \cancel{- \frac1{(2+1)^2} + \frac1{3^2}} - \frac1{(3+1)^2} + ...[/tex]

[Gustav]

Vi gjenkjenner også den andre rekka som teleskoperende og de eneste leddene som ikke kanselleres er
[tex]1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{4}, -\frac{1}{997},-\frac{1}{998},-\frac{1}{999},-\frac{1}{1000}[/tex]

[Guro90]

Hm... Jeg vet ikke helt hva det er med meg, men jeg forstår bare ikke det dere forteller meg!

Disse to rekkene er teleskoperende rekker, og det er fordi de fleste leddene bli eliminert. I den første rekken forstår jeg hvordan de blir eliminert, men jeg skjønner likevel ikke hvordan man kan sette den formelen uttav det. Og i den andre oppgaven skjønner jeg ikke hvordan det er en teleskoperende rekke! Må man ikke se på hele parantesen som en helhet? Jeg skjønner ikke hvor de tallene du har skrevet kommer fra.. Jeg beklager at jeg er så dum, men jeg trenger visst å få det inn med teskje! :p

[Gustav]

Legg merke til at hvis vi definerer [tex]g(n)=\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+2}+\frac{1}{4n+3}+\frac{1}{4n+4}[/tex] er summen

[tex]\sum_{n=0}^{248}g(n)-g(n+1)[/tex].

Da ser vi at rekka er teleskoperende og at de eneste leddene som ikke kansellerer er

[tex]g(0)[/tex] og [tex]- g(249)[/tex].

Derfor er

[tex]\sum_{n=0}^{248}g(n)-g(n+1)=g(0)-g(249)[/tex]

[Gustav]

Hm... Jeg vet ikke helt hva det er med meg, men jeg forstår bare ikke det dere forteller meg!

Disse to rekkene er teleskoperende rekker, og det er fordi de fleste leddene bli eliminert. I den første rekken forstår jeg hvordan de blir eliminert, men jeg skjønner likevel ikke hvordan man kan sette den formelen uttav det. Og i den andre oppgaven skjønner jeg ikke hvordan det er en teleskoperende rekke! Må man ikke se på hele parantesen som en helhet? Jeg skjønner ikke hvor de tallene du har skrevet kommer fra.. Jeg beklager at jeg er så dum, men jeg trenger visst å få det inn med teskje! :p

Det kan kreve litt erfaring for å se sånt, og du er slett ikke dum selv om du ikke ser det med en gang. Det kan være smart å skrive opp litt flere ledd. I det siste tilfellet må du nesten skrive opp minst ni ledd før du ser direkte hvilke ledd som kansellerer.

Trikset er å skrive om rekka, f.eks. slik jeg gjorde over, slik at man lettere ser hvilke ledd som kanselleres.

[Guro90]

Jeg forstår ihvertfall mye mer enn jeg gjorde først! Takk for hjelpen!