matematikk.net

Fikk denne oppgaven tilsendt per epost.
åkke får'ntaell?

PeerGynt

På figuren nedenfor er vinkelen DPA =15 , buen CD = 140 og buen AB = 70 .
Hvordan kan jeg finne vinkelen ABD? (Figuren har ikke nøyaktige mål, jeg har bare gjort et forsøk på å illustrere den).

En periferivinkel er alltid halvparten av buen den spenner over, så vinkel DBC og CAD blir hver 70 grader. Av samme grunn blir både vinkel ADB og ACB 35 grader. Vi kaller vinkel BDC for y, og BAC for x. Tar vi for oss trekanten APD får vi at x+y+70+35+15=180 => x+y=60
Vinkel x og y spenner over den samme buen BC, og må derfor være like store, altså halvparten av denne buen. Ettersom x+y=60, må både x og y være lik 30. Vi kan nå se på trekanten ABC, hvor alle vinklene bortsett fra den vi skal finne er kjent. Ettersom summen skal være 180, blir vår vinkel ABD=45 grader. Eller...?

Thomas

Godt forsøk, men jeg tror dessverre det er feil. Man kan ikke si at periferivinkelen er halvparten av buen den spenner over, men du er inne på noe. Hvis det hadde vært slik så hadde ikke DBC blitt 70 uansett, fordi at DC ikke er en bue, men en korde. Hvis det skulle vært sånn så hadde jo en mindre versjon som hadde vært formlik med denne hatt en mindre vinkel, noe som ikke stemmer med at den er formlik.

Det man først kan legge merke til er at ADC = PBC og PCB = BAD fordi de motstående vinklene i en trekant til sammen er 180 grader. Den motstående vinkelen til for eksempel BAD = 180 – (180 – PCB) = PCB

Deretter kan man se på hvilke av vinklene som er like store ved bruk av regelen om at periferivinkler som spenner over samme bue er like stor. Dette kan dere lese mer om under videregående skole og sirkel på matematikk.net. Ta utgangspunkt i BAD og ADC og fargelegg vinkelene her som er parvis like store på grunn av periferivinkler som spenner over samme bue svart. Her får trekanten ABC får et hull, nemlig ABD. Resten av vinklene er jo 180 – 15, fordi de er like store som de ukjente vinklene i trekanten PBC. Da må ABD bli 15 grader.