matematikk.net

Korleis reknar eg ut kvadratrota av eit stort tal utan å bruke kalkulator.?

Berre papir og blyant. Ingen veit det. Flott om eg fekk vete det.

Hei!
Joda, det er nok noen som vet det Jeg har fått spørsmål om det før og har lovet at det skal komme på sidene her. Foreløpig har det ikke fått prioritet fordi de fleste slår seg til ro med å bruke kalkulator.

Jeg lover at det skal komme noe i løpet av tidlig høst. Årsaken til det er at jeg ikke har tid nå og at det vil kreve noen timer med tegning og fortelling + grafisk tilretteleggelse, men som sagt det kommer.

Ellers er det jo hyggelig at noen bruker sidene på sommeren også 8)

Dersom noen kommer meg i forkjøpet og legger ut stoff om emnet, eller om andre emner blir vi ikke lei oss av den grunn!!
God sommer!!
Kenneth

Metodene for dette er basert på å finne en tilnaerming for funksjonen
[funk][/funk](x) = [rot][/rot]x
ved rekkeutvikling.

P

Nei, dette ble tull! Taylor rekkeutvikling hjlper ikke her.

Gode gamle Newton fant ut en måte å gjoere dette på. Her er Newtons iterasjon:

regn ut lim[sub]k-->uendelig[/sub]x[sub]k[/sub] der

x[sub]0[/sub] = 1 og

x[sub]k+1[/sub] = 1/2(x[sub]k[/sub] + n/x[sub]k[/sub])

Proev med noen få iterasjoner, og du vil komme naer et korrekt svar. For eksempel:vi vil finne kvadratroten av 17 ( [rot][/rot]17 ) med papir og blyant. Newtons iterasjon gir oss:

x[sub]0[/sub] = 1
x[sub]1[/sub] = 0.5(1 + 17/1) = 8.5
x[sub]2[/sub] = 0.5(8.5 + 17/8.5) = 5.25
x[sub]3[/sub] = 0.5(5.25 + 17/5.25) = 4.244
x[sub]4[/sub] = 0.5(4.244 + 17/4.244) = 4.1248

Kalkulatoren gir svaret [rot][/rot]17 = 4.1231 så etter fire iterasjoner er svaret, i dette tilfellet, noeyaktig til to desimaler. Jo fler iterasjoner, desto bedre noeyaktighet får du.

Vi får bare godta Newtons iterasjon slik den er gitt her, intil Kenneth, eller meg selv, legger ut en side (til hoeseten) som forklarer matematikken bak det hele.

P

Tusen takk for alle svar. Eg er desverre ikkje meir enn ein liten ungdomsskuleelev. Så eg har eigentleg ikkje greie på fuksjonar og slikt. Men eg skal sjå på svara og prøve å forstå.

No har eg sett over arka og eg forsto det til slutt .
Men bestemora mi sa at då ho lærte det var det ein mykje enklare måte å gjere det på.
Ho har vert lærar og kunne dette for 50 år sidan, ho huskar ikkje riktig korleis det vart gjort, men ho sa det var lettare enn dette.

Er det nokon som veit ein lettare måte å gjere dette på?

No har eg funne det ut!!

Eg spurde ein mattelærar på skulen og fekk vete korleis ein reknar ut kvadratrota av eit tal uten å bruke kalkulator

Sei at vi skal finne rota av 998 001:

1. "Del" talet opp i to og to bakaifrå. 99 80 01.
(2.Operasjonen skal utførast på nesten
same måten som om ein DIVIDERAR.)
3. Ein finn det høgaste kvadrattalet under 99.
4. Som då er 81.
5. Rota av 81 er 9, derfor ”delar” vi på
9 og får 9 som 1. siffer i svaret 99 80 01 ”:” 9 = 9
6. 81 skriv vi under 99 slik vi gjer i divisjon.
7. Vi subtraherer 99 med 81 og får 18 under 81.
8. Vi flyttar ned 80 og får 18 80 som nytt tal under.

99 80 01 ”:” 9 = 9
18 80

9. No skal vi ”dele” 18 80 på eit nytt tal. (Ikkje det same som forrige gong)
10.Vi tar det dobbelte av det talet vi har fått som 1. siffer
i SVARET. Dette talet er 9 i dette tilfellet. Altså 9*2 = 18.
11. Vi set 18 som nytt ”deletal” ved sida av 18 80.
12. No kjem vi til det som er vanskeligast å forklare.
13. Bak 18 (som vi ”deler” på), skal vi sette
eit nytt tal slik at ”18” blir eit 3- siffra tal.
14. 18”X” .
15. ”X” skal også multipliserast med det 3- siffra talet.
16. Vi får 18 80 ”: ” 18X * X
17. Og dette talet skal bli LÅGARE en 1880.
18. Då tenker vi: 185 * 5 = ca. 900. Det er for lite.
19. Men 189 * 9 = 1701. (9 er det høgaste en-siffra så
då må det vere 9, sidan 1701 er lågare enn 1880)
20. Talet er altså 9, vi får 9 som 2. siffer i svaret.

21.Vi får:
99 80 01 ”:” 9 =_99_
81
18 80 ”:” 189
17 01

22. No skal vi igjen subtrahere og får 179 under 1701.
23. Så flyttar vi ned 01 og får 17901
24. Dette skal då delast på 99 * 2 + et tal ”X”.
25. Vi finn at 1989*9 Gjev oss det høgaste talet under 17901.
Det går faktisk akkurat opp.
26. Vi set 9 opp til dei andre 9-tala, og vi har ikkje fleire tal å legge ned.
27. Svaret er 999. Rota av 998001 = 999.

28. Vi får til slutt:
99 80 01 : 9 = _999_
81
18 80 : 189*9
17 01
1 79 01 : 1989*9
1 79 01
0 00 00

Håpar dette var forståeleg. Eg har gjort så godt eg kunne å til å forklare.

Berre spør viss de ikkje forstår

Jeg har lært meg å føre det slik som jeg gjør på disse tegningene.

Det jeg gjør annerledes enn deg ellers enn føringa er at jeg ganger med 20 istendenfor 2.

...

Her skriver du først opp rota der du setter dem i par så langt som mulig. Til det første paret eller enkeltsifferet finner jeg det nærmeste kvadrattallet. Rota av dette tallet skriver du over det opprinnelige paret eller enkeltsifferet oppå rota.

Så trekker du paret eller enkeltsifferet fra kvadrattallet du fant. Til venstre for det som er i rest setter du en skillestrek. Her ganger du det som står over rottegnet med tjue og legger til et plusstegn uten å skrive noe bak.

(Dette forklares lettere med illustrasjoner)



Neste illustrasjon er fra når jeg er ferdig med utregninga. Derfor må dere prøve å følge med som om dere fortsatte fra i stad.

Velg det største ettsiffra tallet som kan passe i understrekninga (se ill. over, bak 20*9) og gi et tall som når ganges med det samme ettsiffra tallet blir mindre enn det som er i rest. Sett dette ettsiffra tallet over rota bak det som allerede står der.

Finn tallet som blir gitt ved uttrykket du har skrevet til venstre for det som står i rest, og gang det med det ettsiffra tallet du fant passa (her 9) og skriv produktet under det som står i rest, og trekk dette tallet fra rest. (Som du gjør ved deling)

Nå gjentar du bare. Legg merke til at du ganger 20 med 99 denne gangen, fordi det er 99 som står over rottegnet.



Bildene burde kunne sees nå takket være noen mindre elegante tekniske løsninger.

De bildene ligger på et passordbeskyttet område på en server, så de kan ikke vises...


EDIT: Funker nå 8)

Flott jobba Jan Z!!!!

Tusen takk for svaret du sendte, det virka bra det

Veldig bra innlegg om kvadratrot, men jeg må innrømme at jeg ikke forstod fremgangsmåten 100%. Noen som kan forklare den litt nærmere? F.eks. hvordan du kom frem til dette:

24. Dette skal då delast på 99 * 2 + et tal ”X”.
25. Vi finn at 1989*9 Gjev oss det høgaste talet under 17901.

Slik det er nå er den første metoden (med funksjonen) den jeg forstår, men jeg vil gjerne forstå grunnen til det jeg gjør når jeg regner.

Jeg vet om en annen metode som brukes for aa regne med minde tall.

Se paa denne sida, men den er paa engelsk, jeg skjonte det ihvertfall.

http://mathforum.org/library/drmath/view/58250.html

Ein enkel metode er å finna betre og betre a < x < b for x = [rot][/rot]y. Merk at dette er det same som at a^2 < y < b^2.

Eg vil nytta y = 764 for å visa kva eg meiner:

27^2 = 729 < 764 < 784 = 28^2, så 27 < x < 28.

Sidan 27,5^2 < 764, så er vidare 27,5 < x < 28.

Vidare har me 27,7^2 > x, så 27,5 < x < 27,7.

Vidare er 27,6^2 < y, så 27,6 < x < 27,7.

Poenget er sikkert forstått no: Gjeve eit intervall a < x < b skal du prøva å i alle fall halvera intervallet (ved å undersøkja om x > (a + b)/2 eller ei; meir "vågale" tal kan gjerne prøvast, men då kan ein enda opp med eit litt stort intervall viss ein er uklok.). Sidan metoden inneberer mange utrekningar av same typen, så er den å hugsa, men på den andre sida kan det ta lang tid å få ei god intervallinnsnevring. Dei fleste skulle likevel vera nøgde etter eit dusin multiplikasjonar (då skulle håpefullt tre desimalar stemma).

27,65^2 > 764, så 27,6 < x < 27,65
27,64^2 < 764, så 27,64 < 27,65.
Merk at eg her korta inn intervallet radikalt. Det var fordi 27,65 var ein god tilnærming. Merk vidare at 27,64 er svært god, så me tek ein sjanse:

27,641^2 > 764, så me har 27,64 < x < 27,641

Vidare får me 27,6405^2 < 764.
Og sidan me er nære no, tek me ein ny stor innsnevring:
27,6406^2 > 764, så 27,6405 < x < 27,6506.
Neste forsøk er 27,65055 (dei to førre utrekningane antyder at me kjem svært nære no): 27,65055^2 > 764, så vidt.

Den ekstremt gode tilnærminga gjer at me gjer eit nytt vågalt forsøk (bommar me, så har me gjort ein litt sløsete utrekning, ikkje verre):
27,64054^2 < 764, så til no har me

27,64054 < x < 27,64055.


Kommentar: Denne metoden er rimeleg gammal, men eg har gjort ein liten modifisering i intervallinnsnevringa, der eg i staden for intervallhalvering iblant gjer grundigare intervallinnsnevringar. Sjansen eg tek her er at dersom eg har til dømes a < x < b, og prøver c nære a, så kan eg enda opp med intervallet c < x < b i staden for det mykje betre a < x < c.