Hvordan kan jeg finne volum av en kule?
Diameteren er på 15 cm.
Trenger det til muntlig eksamen i morgen...
Volum av kule
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Andreas345
- Grothendieck
- Innlegg: 828
- Registrert: 13/10-2007 00:33
Formelen for volum av en kule kan regnes ut vha trippelintegraler og kulekoordinater:
Volumet er gitt ved
[tex]V=\iiint_R 1 dx dy dz[/tex]
Hvor R er en kule med radius r. Vi kan skifte til kulekoordinater ved følgende substitusjon:
[tex]x = r \sin \phi \cos \theta \\ y = r \sin \phi \cos \theta \\ z = r \cos \phi[/tex]
Med Jacobi-determinant:
[tex]r^2 \sin \phi[/tex]
Altså [tex]dxydydz=r^2 \sin \phi d\theta d\phi dr[/tex]
Integralet blir nå
[tex]V= \int_0^r \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} r^2 \sin \phi d\theta d\phi dr[/tex]
[tex]\int_0^r r^2 dr \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin \phi d\phi = \frac{r^3}{3} \cdot 2\phi \cdot [-\cos \phi]_0^\pi=\frac{4\pi r^3}{3}[/tex]
Finito.
Finnes mer forståelige måter å regne dette ut på også. F.eks ved å regne ut arealet til et omdreiningslegeme.
Volumet er gitt ved
[tex]V=\iiint_R 1 dx dy dz[/tex]
Hvor R er en kule med radius r. Vi kan skifte til kulekoordinater ved følgende substitusjon:
[tex]x = r \sin \phi \cos \theta \\ y = r \sin \phi \cos \theta \\ z = r \cos \phi[/tex]
Med Jacobi-determinant:
[tex]r^2 \sin \phi[/tex]
Altså [tex]dxydydz=r^2 \sin \phi d\theta d\phi dr[/tex]
Integralet blir nå
[tex]V= \int_0^r \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} r^2 \sin \phi d\theta d\phi dr[/tex]
[tex]\int_0^r r^2 dr \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin \phi d\phi = \frac{r^3}{3} \cdot 2\phi \cdot [-\cos \phi]_0^\pi=\frac{4\pi r^3}{3}[/tex]
Finito.
Finnes mer forståelige måter å regne dette ut på også. F.eks ved å regne ut arealet til et omdreiningslegeme.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
For den der har jeg lurt på utrolig lenge! x)Komplekse tall har ingenting med saken å gjøre. Dette er et trippelintegral hvor du integrerer i rommet ("vanligvis" integrerer man på tallinjen, altså i én dimensjon).
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
)Men [tex]\phi[/tex] her har ingenting med det gylne snitt å gjøre. Her er [tex]\phi[/tex] en variabel på linje med x og y, osv.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ja, det er vel stort sett det, men han snakket om 'universelle' konstanter og jeg har faktisk ganske ofte sett [tex]\phi[/tex] bli brukt til det gylne snitt.FredrikM skrev:Men [tex]\phi[/tex] her har ingenting med det gylne snitt å gjøre. Her er [tex]\phi[/tex] en variabel på linje med x og y, osv.
Uansett Kukaka, så er det lurt å først og fremst huske at de fleste bokstaver er variable (eller konstante, ikke som i e og pi, men i f.eks. y=ax er a konstant) 'til det motsatte er bevist,' så hvis du ser en bokstav du ikke kjenner; fortvil ikke. En kunne klart seg fint uten å bruke [tex]\phi[/tex] som en vinkel, men etterhvert blir det en fin konvensjon at f.eks. [tex]\phi/\theta[/tex] osv. angir en vinkel, så blir en ledet innpå riktig tankegang. Jeg tviler på at noen vil bruke [tex]\phi[/tex] som det gyldne snitt, eller de fleste andre konstanter uten å si det eksplisitt, mens de eneste unntak er nok kanskje [tex]\pi[/tex] og [tex]e[/tex].
Sjelden man bruke det gyldne snitt, men vinkler går det mye av.
I kalkulus brukes vanligvis [tex]\theta[/tex] som vinkelen i polarkoordinater og sylinderkoordinater. I kulekoordinater trengs enda en vinkel, og mange bruker [tex]\phi[/tex] som vinkelen mot z-aksen. [tex]\theta[/tex] brukes der om vinkelen mot x-aksen.
Man kan spørre seg hvorfor dette er blitt konvensjon. Logisk sett ville det vært naturlig å bruke [tex]\chi [/tex], [tex]\psi[/tex] og [tex]\omega[/tex] som henholdsvis vinkler med x- , y- og z-aksen siden disse er de tre siste bokstavene i det greske alfabetet og sammenfaller således med x,y,z.
I kalkulus brukes vanligvis [tex]\theta[/tex] som vinkelen i polarkoordinater og sylinderkoordinater. I kulekoordinater trengs enda en vinkel, og mange bruker [tex]\phi[/tex] som vinkelen mot z-aksen. [tex]\theta[/tex] brukes der om vinkelen mot x-aksen.
Man kan spørre seg hvorfor dette er blitt konvensjon. Logisk sett ville det vært naturlig å bruke [tex]\chi [/tex], [tex]\psi[/tex] og [tex]\omega[/tex] som henholdsvis vinkler med x- , y- og z-aksen siden disse er de tre siste bokstavene i det greske alfabetet og sammenfaller således med x,y,z.