Ligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
To ukjente og to likningar; eit generelt forslag er å substituera den eine ukjente inn i ein likning, slik at me får éi likning med éin ukjent. Dette vil nok føra fram til ein fjerdegradslikning, og dei er det ikkje berre-berre å finna røtene til, men me veit i alle fall med dette at det er maksimalt fire løysningar.
Me prøver først heiltalsløysningar, dvs. x og y blant 0, 1, 4 og 9 og kvadratrøtene deira blant 0, 1, 2 og 3. Ved å sjekka finn me at x = 4, y = 9 fungerer og at det ikkje finst fleire heiltalsløysningar.
Me prøver først heiltalsløysningar, dvs. x og y blant 0, 1, 4 og 9 og kvadratrøtene deira blant 0, 1, 2 og 3. Ved å sjekka finn me at x = 4, y = 9 fungerer og at det ikkje finst fleire heiltalsløysningar.
-
Gjest
La x = a^2, y = b^2. Me har då a + b^2 = 11 og b + a^2 = 7, dvs. fjerdegradslikninga b + (11 - b^2)^2 = 7, dvs.
b^4 - 22b^2 + b + 114 = 0.
Me kjenner løysninga b = 3, og finn via polynomdivisjon (eller prøving og feiling, dersom polynomdivisjon er ukjent)
b^4 - 22b^2 + b + 114 = (b - 3)(b^3 + 3b^2 - 13b - 38)
Me skal altså løysa b^3 + 3b^2 - 13b - 38 = 0.
Derivasjon (heller ikkje ungdomskulepensum...) på f(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 38 gjev f'(x) = 3x^2 + 6x - 13 = 3(x + 1)^2 - 16, så f(x) minkar fram til x = 4/[rot][/rot]3 - 1, før den veks vidare. Me er berre interesserte i x > 0 (sidan b > 0), og får f(0) = -38 < 0, så denne tredjegradslikninga har berre éi positiv rot. Sidan me er interesserte i b < [rot][/rot]11 = c, så sjekkar me f(c) = 11c + 33 - 13c - 38 < 0, så det finst ikkje fleire interessante røter.
Altså er løysninga b = 3, a = 2, dvs. 4, y = 9, den einaste løysninga.
(Dette kan virka litt rotete for ungdomskuleelevar, men ein god ungdomskuleelev skulle kunna setja seg inn i den bakanforliggande teorien.)
b^4 - 22b^2 + b + 114 = 0.
Me kjenner løysninga b = 3, og finn via polynomdivisjon (eller prøving og feiling, dersom polynomdivisjon er ukjent)
b^4 - 22b^2 + b + 114 = (b - 3)(b^3 + 3b^2 - 13b - 38)
Me skal altså løysa b^3 + 3b^2 - 13b - 38 = 0.
Derivasjon (heller ikkje ungdomskulepensum...) på f(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 38 gjev f'(x) = 3x^2 + 6x - 13 = 3(x + 1)^2 - 16, så f(x) minkar fram til x = 4/[rot][/rot]3 - 1, før den veks vidare. Me er berre interesserte i x > 0 (sidan b > 0), og får f(0) = -38 < 0, så denne tredjegradslikninga har berre éi positiv rot. Sidan me er interesserte i b < [rot][/rot]11 = c, så sjekkar me f(c) = 11c + 33 - 13c - 38 < 0, så det finst ikkje fleire interessante røter.
Altså er løysninga b = 3, a = 2, dvs. 4, y = 9, den einaste løysninga.
(Dette kan virka litt rotete for ungdomskuleelevar, men ein god ungdomskuleelev skulle kunna setja seg inn i den bakanforliggande teorien.)