Antall sifre i 2^40 * 5^30

[dag]

Oppgave 12 fra årets abelkonkurranse (første runde):

Antall sifre i 2^40 * 5^30 er
A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34

Hvordan løser man en oppgave som dette?

[administrator]

Hei!
Det er sikkert mange elegante måter å løse denne på, ikke vet jeg.... Men, en måte, sikkert ikke den mest elegante er å få skrevet potensene med grunntall 10. 10[sup]n[/sup]er jo et tall med n nuller så tellingen er ganske grei.

Var dette hint godt nok?

MVH
Kenneth Marthinsen

[dag]

Takk for svar :). Jeg har tenkt litt over det du sa. Siden 2^10 = 1024 og 10^3 = 1000, så kan vi gjøre et overslag på denne måten:

2^40 = (2^10)^4 > (10^3)^4 = 10^12

Dette stemmer, det er 13 siffer i 2^40 (jeg sjekket på lommeregner). På samme måte kan vi jo gjøre med 5^30.

5^3 = 125 > 10^2 = 100
5^30 = (5^3)^10 > (10^2)^10 = 10^20

Jeg sjekket 5^30 på lommeregner også, det er 21 siffer i 5^30. Produktet av disse tallene (2^40 og 5^30) blir 34 siffer (jeg sjekket på lommeregner), mens 10^12 * 10^20 er 33 siffer. Jeg tror problemet ligger i det at 5^3 er såpass mye mer enn 10^2, så 5^30 blir nesten 22 siffer. Når 5^30 så ganges med 2^40, tipper det akkurat over til 34 siffer.

Dette er som sagt en oppgave fra abelkonkurransen, så det skal gå an å løse den på en relativt grei måte uten bruk av lommeregner. Noen som har noen tips?

[administrator]

Hei igjen!
Jeg tenkte vel ikke at du skulle bruke lommeregner. Jeg tenkte mer på at du har to grunntall, 2 og 5. 2 multiplisert med 5 er 10.........
Er du med?

Kom gjerne tilbake dersom du fortsatt står fast!
MVH
KM

[dag]

Ok, skjønner hva du mener, fikk det til nå :-)

2[sup]40[/sup] * 5[sup]30[/sup] = (2*5)[sup]30[/sup] * 2[sup]10[/sup]
2[sup]10[/sup] = 1024, så 10[sup]30[/sup] * 2[sup]10[/sup] blir 33 siffer.

Takk for hjelp.

[administrator]

Riktig tanke, men blir det ikke 34 siffer da?
KM

[dag]

Ja, selvfølgelig.