Sannsynlighet - "Casino-problemet"

Her kan du stille spørsmål om oppgaver i matematikk på ungdomsskole og barneskole nivå. Alle som føler at de kan bidra er velkommen til å svare.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Dunder
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 06/02-2007 09:22

Hei. Har et lite sannsynlighetsproblem jeg ikke er helt sikker på forklaringen rundt. Lurer vel egentlig bare på om noen kan bekfrefte det jeg antar...

Problem:
Du er deltager på et gameshow på tv. Du får tre luker å velge mellom. Bak to av disse befinner det seg en appelsin, og bak den siste en million kr. Programlederen lar deg velge en luke. Etter dette viser han deg innholdet i den ene av lukene du ikke valgte (åpner en luke med en appelsin). Så får du spørsmålet om du vil bytte luke. Bør du, eller bør du ikke bytte?

Intuitivt mener mange på at det er ett fett om du bytter eller ikke, men dette er vel ikke riktig. Ettersom du i utgangspunktet kun har 1/3 sjanse for å ta rett, blir det vel sånn at når programlederen viser innholdet i en luke, øker vel sjansen din til 2/3 (for å vinne en million) om du bytter...? Hvordan ser det endelige regnestykket ut, og hvordan ville du forklare det for en 15-åring?

- D
Toppris
Maskinmester
Maskinmester
Innlegg: 383
Registrert: 03/02-2005 19:32
Sted: Stavanger

Dette kalles også for Monty Hall's-problem.

Kaller lukene med appelsin for A og B, og luken med penger for C.

Velger en A først så fjerner lederen luke B. Hvis en da skifter luke til C så vinner en penger, hvis en beholder luke A så får en appelsin.

Tilsvarende vil det være dersom en velger B først.

Velger en derimot luke C først så får en appelsin dersom en bytter luke og får penger dersom en beholder.

En ser lett at en har 3 mulige valg når en starter. Alle valgene har samme sannsynlighet. Ved 2 av disse valgene så vil det lønne seg å bytte luke. Det er altså [tex]\frac{2}{3}[/tex] sannsynlighet for å få penger dersom en bytter luke.
SquareKnowledge
Cantor
Cantor
Innlegg: 114
Registrert: 25/04-2006 14:59

Det er den åpenbare delen, men hva skjer når personen som valgte første runde byttes ut med en helt ny person. Har den nye personen da 50/50, eller har denne personen også 1/3 og 2/3?

Man vet jo at han har bare 2dører, den ene er det penger bak, den andre ikke. Hvorfor er sjangsen annerledes? Det er vel dette som er det trickye å forklare for en 15åring? ;)
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Dette var vel forrige månedes konkurranse ...

Jeg sendte inn svar der og det lyder slik;

Det er ingen grunn til aa bytte dor.
Spillet er laget slik at uansett om du velger doren med en geit eller en bil saa vil det bli fjernet en geit fra spillet.
Dette gjor det forste valget av dor fulstendig meningslost ettersom du til slutt ender opp med en 50-50 sjanse til aa vinne bilen.
Naar du i tillegg gir spilleren lov til aa bytte dor i det siste valget er det som om han ikke hadde tatt et forrige valg i det hele tatt, da han kan velge fritt mellom de resterende to dorene.
Sunn fornuft og litt matematikk sier at 50-50 sjanse til aa vinne dette spillet.

Jeg må si jeg ble veldig skuffet når jeg ikke vant :wink:

PS: Jeg vet ikke om det er rett ...
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Emomilol skrev:Dette var vel forrige månedes konkurranse ...

Jeg sendte inn svar der og det lyder slik;

Det er ingen grunn til aa bytte dor.
Spillet er laget slik at uansett om du velger doren med en geit eller en bil saa vil det bli fjernet en geit fra spillet.
Dette gjor det forste valget av dor fulstendig meningslost ettersom du til slutt ender opp med en 50-50 sjanse til aa vinne bilen.
Naar du i tillegg gir spilleren lov til aa bytte dor i det siste valget er det som om han ikke hadde tatt et forrige valg i det hele tatt, da han kan velge fritt mellom de resterende to dorene.
Sunn fornuft og litt matematikk sier at 50-50 sjanse til aa vinne dette spillet.

Jeg må si jeg ble veldig skuffet når jeg ikke vant :wink:

PS: Jeg vet ikke om det er rett ...
Dette er galt. Les administrators innlegg eller sjekk ut:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Monty-Hall problemet er i grunnen ikke så veldig paradoksalt. du er gitt tre dører, hvorav én skjuler en premie og to skjuler appelsiner. I ditt første valg har du 1/3 sjans for å velge rett dør, og 2/3 for å velge feil.

Tenk deg at du har valgt FEIL dør. Etter at du har valgt denne døren, åpnes den andre døren som ikke var premiegivende, og om du bytter har du da vunnet. Du velger feil dør i 2/3 av tilfellene.

Tenk deg at du har valgt RETT dør. Hvis du bytter, bytter du til en appelsin. Du velger rett dør i 1/3 av tilfellene.

Dersom du konsekvent BYTTER vinner du altså i 2/3 av tilfellene.
Dersom du derimot velger å konsekvent beholde døren du i utgangspunktet valgte, taper du i 2/3 av tilfellene.
Doktor
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 06/09-2006 20:58

Det kan illustreres enda bedre hvis man tenker seg en kortstokk med 52 kort. Du skal trekke et kort og målet er å finne spar ess (da vinner du noe). Tenk deg så at du velger et kort og programlederen fjerner 50 kort og nå står igjen med det du har valgt pluss ett til og spar esset er et av de. vil du da bytte eller beholde det?
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Aah Doktor, nå så jeg lyset! :)
Gegga

I innledningen her glemmer "Dunder" en viktig ting.
Han/hun skriver: "etter dette viser programlederen deg en luke (åpner en luke med appelsin). Så får du spm om du vil bytte"

Dette blir upresist. Åpner programlederen en tilfeldig luke? Kunne han like godt åpnet luken med en million? Da ville det jo blitt rart å be deg bytte, for så vidt. Men man kan ikke stille spørsmålet på denne måten.

Forutsetningene MÅ være at programlederen VET hva som er hvor, og dette må du få beskjed om. (Og det gjør ikke programlederen i Casino vanligvis. Så dette er i stand til å forvirre "mottakeren" av oppgaven ...) En annen forutsetning må være at du får beskjed I FORKANT om at etter at du har valgt, så vil programlederen åpne en luke med en appelsin. Deretter kan du få velge på nytt. Du kan beholde, eller bytte.

Hvis dette ikke kommer klart frem, blir oppgaven helt feil. Og jeg skulle diskutert meg til å fått rett ved å svare "50/50".

Dersom alle disse premissene kommer klart frem i forkant, er det klart at man kun bommer (får en appelsin) den gangen man faktisk velger millionen i utgangspunktet. Mens man bytter til en million dersom man velger en appelsin i utgangspunktet. Man har med andre ord 2/3 sannsynlighet for å få en million kroner. Ergo: Bytt.

Dersom en ny person kommer inn i rommet, er det naturligvis 50/50, gitt nevnte forutsetninger.

Jeg pleier også å bruke dette med en kortstokk som eksempel når jeg skal forklare denne oppgaven.

Jeg har også "bevist" den opprinnelige løsningen, ved å si at rødt kort er millionen, og sort kort er en appelsin. Jeg stokker kortene (slik at jeg ikke vet hva som er hvor), og lar den andre velge et kort. Deretter ser jeg på de to andre, og åpner et sort kort. Så lar jeg den andre personen alltid bytte. Mens jeg alltid beholder. Etter 30-40 ganger, ser man ganske tydelig at jeg vinner flest ganger. Men dette er naturligvis ikke et bevis, det kan jo være tilfeldig. Man kan tross alt være heldig!
Svar