Et virkelig vakkert problem til alle mattegeniene der ute:
Vis at det finnes et irrasjonelt tall
a (a er et element av R \ Q),
og et annet irrasjonelt tall b (b er et element av R \ Q),
som når a^b , er rasjonelt (a^b er et element av Q ).
Litt hjelp på veien:
Q: De rasjonelle tallene. (Alle tall som kan skrives som en brøk.)
R: De reele tallene. Summen av de rasjonelle og de irrasjonelle tallene.
\ brukes når man subtraherer en mengde (i dette tilfellet Q) fra en annen mengde (her R).
De irrasjonelle tallene er alle tall som ikke kan skrives som en brøk. For eksempel [rot][/rot]2, (kvadratroten av 2) eller [pi][/pi]. Den irrasjonelle mengde er da R \ Q.
Her skal det være noe å bryne seg på for en hver. Trenger noen et hint er mailen:
toggen3@hotmail.com
Problem for den såkalte "sekten":
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Nå er vel ikke jeg akkurat medlem av denne sekten, men jeg prøver meg på en løsning av problemet for det. Alltid gøy med matematiske problemer.
Jeg fastslår, uten bevis her, at sqrt(2) er irrasjonalt.
La a=b=sqrt(2).
Da har vi
Q=sqrt(2)[sup]sqrt(2)[/sup]
Hvis Q er rasjonalt, er vi allerede i mål. Anta så at Q er irrasjonalt.
La så
P=Q[sup]sqrt(2)[/sup]=sqrt(2)[sup]2[/sup]=2
2 er som kjent rasjonalt, og dermed kan et irrasjonalt tall opphøyd i et irrasjonalt tall være rasjonalt.
q.e.d
Et morsomt problemt fra Algebra og Tallteoriens verden
Jeg fastslår, uten bevis her, at sqrt(2) er irrasjonalt.
La a=b=sqrt(2).
Da har vi
Q=sqrt(2)[sup]sqrt(2)[/sup]
Hvis Q er rasjonalt, er vi allerede i mål. Anta så at Q er irrasjonalt.
La så
P=Q[sup]sqrt(2)[/sup]=sqrt(2)[sup]2[/sup]=2
2 er som kjent rasjonalt, og dermed kan et irrasjonalt tall opphøyd i et irrasjonalt tall være rasjonalt.
q.e.d
Et morsomt problemt fra Algebra og Tallteoriens verden
-
problemløser28
Et bra forslag, men ikke matematisk korrekt. Vill heller prøvd å løse oppgaven logisk.
Tiden tatt i betraktning var det du hadde produsert svært bra. Du er nærme, men har enkelte feil.
Skjønner foreksempel ikke overgangen her:
Q=sqrt(2)^sqrt(2)
Hvis Q er rasjonalt, er vi allerede i mål. Anta så at Q er irrasjonalt.
La så
P=Qsqrt(2)=sqrt(2)^2=2 .
Legger ut en løsning i morgen eller noe....
Tiden tatt i betraktning var det du hadde produsert svært bra. Du er nærme, men har enkelte feil.
Skjønner foreksempel ikke overgangen her:
Q=sqrt(2)^sqrt(2)
Hvis Q er rasjonalt, er vi allerede i mål. Anta så at Q er irrasjonalt.
La så
P=Qsqrt(2)=sqrt(2)^2=2 .
Legger ut en løsning i morgen eller noe....
Det er faktisk ingen logiske glipper her, har rådført meg med min professor om argumentet tidligre.
Overgangen du ikke forstod:
Q er jo et tall slik du etterspurte, et irrasjonellt tall opphøyd i en irrasjonell eksponent. Vi har 2 muligheter for dette tallet, det er enten irrasjonelt, eller rasjonelt, dette er som du vet komplementære set.
Er det rasjonalt har vi jo allerede et irrasjonalt tall opphøyd i en irrasjonell eksponent som tilsammen er et rasjonelt tall. Det andre alternativet er at dette tallet, Q, er irrasjonellt. Men da er Q[sup]sqrt(2)[/sup] et slikt tall som du etterspør, og vi er i mål.
Overgangen du ikke forstod:
Q er jo et tall slik du etterspurte, et irrasjonellt tall opphøyd i en irrasjonell eksponent. Vi har 2 muligheter for dette tallet, det er enten irrasjonelt, eller rasjonelt, dette er som du vet komplementære set.
Er det rasjonalt har vi jo allerede et irrasjonalt tall opphøyd i en irrasjonell eksponent som tilsammen er et rasjonelt tall. Det andre alternativet er at dette tallet, Q, er irrasjonellt. Men da er Q[sup]sqrt(2)[/sup] et slikt tall som du etterspør, og vi er i mål.
-
Gjest
Jo da, har sett på svaret ditt litt mer, og ok det er rett. Og ja, du løste oppgaven logisk, men prøv å bruk logisk føring. Når jeg skrev at løsningen var matematisk ukorrekt refererte jeg til føringen. Det var kanskje litt sterke ord om svaret ditt. Det unnskylder jeg. Jeg ville foretrukket om du skrev det slik:
a= b = [rot][/rot]2
La oss si at påtsanden
a^b er et element av Q = 0
som er ekvivalent med at påstanden ([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2 = 0 (falsk) .
(([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2)^[rot][/rot]2
= ([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2*[rot][/rot]2
= ([rot][/rot]2)^2
= 2
Men nå er påstanden
a^b er et element av Q = 0
og
a^b er et element av Q = 1 .
Altså den er både sann og usann, og må da være sann,
altså
a^b er et element av Q = 1. Påstanden er sann.
Med p, slik du førte den ville jeg skrevet:
P = Q^[rot][/rot]2
er ekvivalent med (har ikke ekvivalenspiler her...)
P = (([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2)^[rot][/rot]2
og videre...
føring er viktig.
a= b = [rot][/rot]2
La oss si at påtsanden
a^b er et element av Q = 0
som er ekvivalent med at påstanden ([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2 = 0 (falsk) .
(([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2)^[rot][/rot]2
= ([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2*[rot][/rot]2
= ([rot][/rot]2)^2
= 2
Men nå er påstanden
a^b er et element av Q = 0
og
a^b er et element av Q = 1 .
Altså den er både sann og usann, og må da være sann,
altså
a^b er et element av Q = 1. Påstanden er sann.
Med p, slik du førte den ville jeg skrevet:
P = Q^[rot][/rot]2
er ekvivalent med (har ikke ekvivalenspiler her...)
P = (([rot][/rot]2)^[rot][/rot]2)^[rot][/rot]2
og videre...
føring er viktig.