Det var få meldte seg, så jeg tar (1): Observer at
\[ a^n-1=(a-1)\sum_{i=0}^{n-1}a^i. \]
Det er klart at $a$ må være lik $2$ for at det over skal være et primtall.

Oppfølger:
4) Vis at $2^n-1$ ikke er delelig med $n$ for $n>1$.

Gitt en ring $S$, en underring $R\leq S$, og et ideal $J\unlhd S$, vis at $R\cap J\unlhd R$; $(R+J)/J\leq S/J$; $R/(R\cap J)\cong (R+J)/J$. Så vidt jeg kan se så er $(R+J)/J=\{ r+J\mid r\in R \}$, altså mengden $R/J$ av alle left cosets av $J$ i $R$. Er grunnen til at man likevel skriver $(R+J)/J$ o...

Hvor Dennis og Stensrud mener at det krever noe ekstra «talent» for å finne ut. Men fra erfaring, så begynner mange unge talenter å kjenne sine begrensninger rundt masteroppgave-innlevering. Det kan skyldes at de blir tatt igjen, at de møter nye omgivelser og så videre. Poenget er i hvert fall at d...

Nur15ProzentAbitur skrev:Men tror at du kommer til å forandre mening når du blir litt eldre.

Det skal man ikke se bort ifra at jeg gjør - kunne du utdypet litt mer? Hvis jeg er helt på villspor vil jeg gjerne vite det.

Et godt spørsmål! Jeg begynner nå på andre året på min bachelor i (ren) matematikk, og jeg har lurt litt på det samme. De første årene på universitetet er det mange fag som er relativt konkrete og like de du har hatt på vgs, men hvis du ikke har drevet noe særlig med bevis før så kan det virke gansk...

$\textbf{Proposisjon 1:}$ For et hvert naturlig tall $n$ er den alterende tverrsummen av $n$ og $n$ selv kongruente modulo 11. Altså hvis siffrene i $n$ er $a_j, a_{j-1}, \dots, a_2, a_1, a_0$ er $n \equiv \sum_{i=0}^j (-1)^i a_i \enspace (\text{mod }11)$ Nå skal jeg være litt ekkel og pirkete, men...

Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift. Nå er jeg ingen TeX-guru, men det finnes et par måter å få det til på: \rm{d} eller \mathrm{d} funker ihvertfall. Forresten så har de fleste artiklene jeg har le...

La $Z$ være en endelig additiv abelsk gruppe, og $A$ en undergruppe. Vis at det finnes en undermengde $\{ v_1,v_2,\dotsc,v_d \}$ av $Z$ med $d=O(\log\frac{|Z|}{|A|})$ slik at
\[ \lvert \{A+[0,1]^d\cdot \{ v_1,v_2,\dotsc,v_d \} \rvert \geq \frac{|Z|}{2}. \]
Noen som har et godt hint her?

Oppfølgar: Vis at abc <= (ab + bc + ca )(a ^2 + b ^2 + c ^2 ) ^2 for alle positive reelle tal a , b og c som er slik at a + b +c = 1 Alternativ løsning: Definer $S_1=(a+b+c)/3,S_2=(ab+bc+ca)/3$ og $S_3=abc$. Etter homogenisering er ulikheten som skal vises ekvivalent med \[ 27S_1^3S_3\leq 3S_2(9S_1...

Hmmm. Prøver på nytt. g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!} . Dette er en CDF (opp til k=n=\lambda ) av Poisson-fordelingen med \lambda=n . Siden Poisson-fordelingen har median n , går summen mot \frac{1}{2} . \lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2} https://en.wikipedia.org/wiki/Poi...

Observer at integranden er stigende da n^x vokser raskere* enn \Gamma(x+1) på interallet [0,n] . Derfor har vi g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n) Siden \lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1 , følger det ...

Hint:
\[ e^n=\sum_{x=0}^\infty \frac{n^x}{\Gamma(x+1)}. \]

For $n\in \mathbb{N}$, definer
\[ f(n):=e^{-n}\int_0^n\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}\mathop{dx}. \]
Finn grenseverdien $ \lim_{n\to \infty}f(n)$.

Alternativt: Det er klart at $n$ ikke har noen divisorer blant $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+1,\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil+2,\dotsc,n-1$, så $\tau(n)\leq \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil +1<\frac{n}{2}+2$. Med den opprinnelige ligningen betyr dette at \[n+\varphi(n)<n+4\implies \varp...

Tillater meg å legge til en lignende oppgave! La $\sigma(n) $ være summen av alle de positive divisorene til $n$. Finn alle $n\in \mathbb{N}$ slik at
\[\sigma(n^2)-\sigma(n)=2016.\]