Vi har gitt funksjonallikningen $(1) \;\; (x - 16)p(2x) = 16(x - 1)p(x)$. La $n=\mbox{grad}(p(x))$. Med andre ord eksisterer det $n+1$ konstanter $0 \neq c_n, c_{n-1}, \ldots ,c_0$ slik at $(2) \;\; p(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_0$. Det faktum at koeffisienten tilhørende $x^{n+1}$ i po...

Når du ender opp med $0=1$, må konklusjonen bli at det gitte lineære likningssystemet er selvmotsigende, dvs. at det ikke har noen løsning når $k=2$. Dette er lett å bevise: Ved å sette $k=2$ i de to første likningene, får vi hhv. $x + 2y + 3z = 7$ og $2x + 4y + 6z = 1$, som gir oss selvmotsigelsen ...

Legg merke til at $(1) \;\; f(x,x) = \frac{1 - 2x ^2}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} - 1$. Vi ser at $f(x,x) \rightarrow \infty$ når $x \rightarrow 0$. Følgelig har ikke $f$ noen største verdi. Videre følger det av (1) at $f(x,x) > -1$ og at $f(x,x) \rightarrow -1$ når $x \rightarrow \infty$. Likningen ${\t...

Her antar man at likevektspunktet er origo. Trekkes loddet vertikalt ned 0,1 meter, havner man i punktet (0,-0.1). Med andre ord er $y(0) = -0,1$, hvilket gir fasitsvaret.

a) I denne rekken er kvotienten $k = -2x$, som gir konvergensområdet ${\textstyle (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}$. b) $S(x) = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{1}{1 + 2x}, {\textstyle\; |x| < \frac{1}{2}}$. Nå er $0 < 2x + 1 < 2$ ettersom ${\textstyle |x| < \frac{1}{2}}$. Følgelig blir ${\textstyle S(x) = \fra...

Gitt at $x_n = C \cdot 9^n + D \cdot (-4)^n \not \equiv 0$ for alle $n \in \mathbb{N}$, i.e. $C \neq 0$ eller $D \neq 0$. Nå er $(1) \;\; \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{C \cdot 9^{n+1} + D \cdot (-4)^{n+1}}{C \cdot 9^n + D \cdot (-4)^n}$. Ved å dele teller og nevner i brøken på høyre side av likhetsteg...

Vi har gitt likningen $(1) \;\; \frac{3^{2x} - 6 \cdot 3^x}{2 \cdot 3^x + 3} = -1$. Ved å gange hver side av likning (1) med $2 \cdot 3^x + 3 > 3$, får vi $3^{2x} - 6 \cdot 3^x = -2 \cdot 3^x - 3$, i.e. $(2) \;\; (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$. Likning (2) har løsningen $3^x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{...

La ${\textstyle f(x) = \frac{x + \sqrt{x} - 2}{x - 1}}$ og sett $u = \sqrt{x}$. Herav følger at $f(x) = \frac{u^2 + u - 2}{u^2 - 1} = \frac{(u - 1)(u + 2)}{(u - 1)(u + 1)} = \frac{u + 2}{u + 1} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$ Dette medfører at $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow ...

Den diofantiske likningen $(1) \;\; \sigma(n^2) - \sigma(n) = 2016$ har ingen løsning i naturlige tall. Bevis Det er åpenbart at $n > 1$. La $\prod_{i=1}^k p_i^{r_i}$ være primtallsfaktoriseringen av $n$. Likning (1) kan nå uttrykkes på formen $(2) \;\; \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{2_i + 1} - 1}{p_i - 1...

Du har jo selv kommer fram til at antall påskeliljer er $5x + 2y$ og antall tulipaner er $3x + 2y$. Dermed blir samlet antall blomster lik $(5x + 2y) +(3x + 2y) = 8x + 4y$. Altså er begrensningen på antall blomster i bedet gitt ved ulikheten $8x + 4y \leq 128$, som kan forkortes til $2x + y \leq 32$.

De eneste løsningene av den diofantiske likningen $(1) \;\; n + \varphi(n) = 2\tau(n)$ er $n=1$, $n=4$ og $n=6$. Bevis: Vi ser at $n=1$ er en triviell løsning av likning (1). Anta at $n>1$ og at primtallsfaktoriseringen av $n$ er $\prod_{i=1}^k p_i^{r_i}$, der $\{p_i\}_{i=1}^k$ er en tiltagende sekv...

Ved å innføre polarkoordinater, dvs. $(x,y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$, får vi at $f(x,y) = \frac{1 - 2xy}{x^2 + y^2} = \frac{1 - 2r^2 \cos \theta \cdot \sin \theta}{r^2} = \frac{1}{r^2} - \sin 2\theta$. Herav følger at ${\textstyle f(x,y) \geq \frac{1}{r^2} - 1}$, som betyr at $f(x,y) \right...

Vi har gitt det ubestemte integralet $(1) \;\; I = \int \frac{2^x}{(\sqrt{5} + 1)^x + (\sqrt{5} + 3)^x} \: dx$. Sett $f(x)$ lik integranden i (1). Den kan omskrives til $(2) \;\; f(x) = \frac{1}{(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^x + (\frac{\sqrt{5} + 3}{2})^x}$. Ved å anvende det faktum at ${\textstyle (\fra...

Den lille rettvinklete trekanten og den store rettvinklete trekanten er formlik. Forholdet mellom lengden av den vertikale kateten og lengden av den horisonale kateten i nevnte lille og store trekant er hhv. ${\textstyle \frac{h}{2,5-b/2}}$ og ${\textstyle \frac{4}{2,5}}$, hvilket gir oss likningen ...

Ganger du de tre likningene, får du $(xyz)^2 = 432^2$, som gir $xyz = \pm 432$. Resten klarer du selv.