Søket gav 91 treff
- 26/03-2018 18:51
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ordning av de naturlige tall
- Svar: 4
- Visninger: 4642
Re: Ordning av de naturlige tall
Det kan godt være mulig at jeg har misset ut på et mer elegant bevis enn som så. Det skulle ikke overraske meg hvis det er mulig å gjøre dette ikke-konstruktivt, ettersom hele oppgaven baserer seg egentlig på faktumet at det finnes nok enkle brøker til å lage så mange av hvilken som helst annen brøk...
- 12/03-2018 00:27
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhetmaraton
- Svar: 158
- Visninger: 94748
Re: Ulikhetmaraton
Difor lurer eg på om der er ein skrivefeil i oppgaveteksta: Kunne vere freistande å skrive > 3 i staden for >= rota av ( 3 ) på H. S. Elles reagerer eg på første leddet ( c ^2 ) under siste rotteiknet på V. S. For å bevare symmetrien i uttrykket må første leddet vere a ^2 , eller ......... ? Jeg lu...
- 09/03-2018 21:53
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Abelfinalen 2018
- Svar: 9
- Visninger: 5221
Re: Abelfinalen 2018
Gratulerer med tredjeplassen forresten! Takker. Alle var utrolig motiverte på abelfinalen i år, og det var en helt fantastisk opplevelse. Jeg kan ikke huske et år da nivået var høyere på finalen (skjønt jeg ikke har deltatt i så mange). Vi forbereder oss nå til den nordiske konkurransen, og satser ...
- 09/03-2018 21:20
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Abelfinalen 2018
- Svar: 9
- Visninger: 5221
Re: Abelfinalen 2018
En samling av løsninger til oppgave 2 jeg og andre abelfinalister har funnet. Noen er mer like enn andre: La oss skrive om $A',B',C'$ til $X,Y,Z$ fordi jeg er for lat til å taste :P . Løsning 1: La $D,E,F$ være midtpunktene på henholdsvis sidene $AB, BC$, og $CA$ i $\triangle ABC$. Ettersom speiling...
- 09/03-2018 20:30
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhetmaraton
- Svar: 158
- Visninger: 94748
Re: Ulikhetmaraton
Oppfølger La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $abc=1$. Vis at $$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac32 $$ Ved CS: \[\left( \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\right)\left(\sum_{cyc} a\left(b+c\right) \right) \geq \left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a}\right)^...
- 07/02-2018 19:01
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Minimum
- Svar: 21
- Visninger: 12113
Re: Minimum
EDIT:Slettet feilaktig bevis.stensrud skrev: 4) For $x,y\ge 0$, vis at
\[2^x+2^y>xy\]
- 07/02-2018 18:11
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Minimum
- Svar: 21
- Visninger: 12113
Re: Minimum
5) Let $ a, b, c$ be positive real numbers so that $ abc = 1$. Prove that \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \] Vi gjør substitusjonen $a=x/y, b=y/z, c=z/x$, slik at den ønskede ulikheten blir: \[\dfrac{1}{xyz}\prod_{cyc}\left(...
- 05/02-2018 10:58
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Minimum
- Svar: 21
- Visninger: 12113
Re: Minimum
2) De positive tallene $a,b,c$ tilfredsstiller $a+b+c=1$. Vis at \[ \sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}. \] Vi starter med å homogenisere ulikheten til: \[\sum_{cyc}\left(\sqrt{a^2+\sum_{cyc}ab}\right)\geq \sum_{cyc} a + \sum_{cyc} \sqrt{ab}.\] Dermed er det tils...
- 07/01-2018 13:08
- Forum: Videregående skole: VG1, VG2 og VG3
- Emne: fysikk1 og kjemi1 - vanskelighetsgrad som privatist?
- Svar: 7
- Visninger: 5882
Re: fysikk1 og kjemi1 - vanskelighetsgrad som privatist?
Jeg hadde fysikk1 sist høst, og slik jeg følte det gikk fysikk 1 eksamen hovedsakelig ut på å vise at man kunne tolke situasjoner gjennom fysikklovene, aka. være i stand til å trekke konklusjoner om problemer ved å regne med de (eller ved å se på andre egenskaper som proposjonalitet og slikt). Særli...
- 19/12-2017 15:22
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Julekalender #17
- Svar: 2
- Visninger: 2117
Re: Julekalender #17
Skriv $P(x)=\sum_{i=0}^{n} p^{(i)}(x)$. For motsigelse, antat at $P(x)$ oppnår sin minimale verdi ved $x=a$, og $P(a)<0$. Men det impliserer at $P'(a)=P(a)-p(a)<0$, som videre betyr at $P(x)$ må være strengt synkende i $x=a$. Altså har vi en motsigelse. Edit: For å kunne å anta at en global minima e...
- 08/12-2017 13:47
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhet
- Svar: 3
- Visninger: 2223
Re: Ulikhet
Dette følger vel direkte fra Cauchy Schwartz (i engelform) i integralform.
- 06/12-2017 13:01
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Julekalender #6
- Svar: 2
- Visninger: 2116
Re: Julekalender #6
Observasjonen her er at kopp-flip-opersjonen bevarer pariteten på antallet av opp-koppene og ned-koppene. Men ved startposisjonen vår har vi 7 ned-kopper, og det ønskede sluttposisjonen vår har 0 ned-kopper, som har ulik paritet enn 7. Dette er en motsigelse, og dermed finnes det ingen kombinasjon a...
- 25/11-2017 15:03
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Geometri-oppgave fra Abelfinalen
- Svar: 3
- Visninger: 1898
Re: Geometri-oppgave fra Abelfinalen
Veldig fint. Legger ved en unødvendig projektiv løsning: La $P$ være skjæringspunktet mellom linjen $AA_2$ og $CQ$. Ettersom $C$ er midtpunktet på $A_2A_3$, samt $A_2A || A_3Q$ (fordi $\angle A_2AQ=\angle A_3 Q A = 90^\circ$), har vi at $C$ også er midtpunktet på $PQ$ (pga $\triangle A_2CP \cong \tr...
- 24/11-2017 16:53
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Maksimum-verdi
- Svar: 12
- Visninger: 10718
Re: Maksimum-verdi
Oisann, det gikk litt raskt i svingene ser jeg. Jeg skal se om jeg klarer å mekke et ikke-jalla bevis i løpet av kvelden.
- 24/11-2017 08:08
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Geometri-oppgave fra Abelfinalen
- Svar: 3
- Visninger: 1898
Geometri-oppgave fra Abelfinalen
La $ABC$ være en spissvinklet trekant med $AB<AC$. Punktene $A_1$ og $A_2$ ligger på linjen $BC$ slik at $AA_1$ og $AA_2$ er den indre, henholdsvis ytre vinkelhalveringslinjen i $A$ i trekanten $ABC$. La $A_3$ være speilbildet til $A_2$ om punktet $C$, og la $Q$ være et punkt på $AA_1$ slik at $\ang...