Vi har gitt likningssystemet $(1) \;\; \cot x + \tan y= 2$, $(2) \;\; {\textstyle \sin x \cdot \cos y = \frac{1}{4}}$. Av definisjonene av cotangens og tangens følger at likning (1) er ekvivalent med $(3) \;\; {\textstyle \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin y}{\cos y} = 2}$. Ved å gange begge sider a...

Innfør følgende variabler som trengs for å fordele tips en bestemt dato: TIpsTotalt = Summen i kr av alle tips i løpet av dagen og kvelden. Fordelingen av tips på dag- og kveldsskiftet betyr at TipsTotaltDag = 0,4*TipsTotalt (Tipsen som skal fordeles på de som jobber dagtid). TipsTotaltKveld = 0,6*T...

Det står i min løsning at sidene i trekanten har lengdene $\sqrt{n-3}$, $\sqrt{n}$ og $\sqrt{n+3}$. Så når $n=4$, får vi en trekant der sidelengder er hhv. 1, 2 og $\sqrt{7}$.

Signaturen Mrcreosote har selvfølgelig rett. Denne julenøtten er ekvivalent med $(1) \;\; a^2b + a + b = k(ab^2 + b + 7)$. Likning (1) kan omskrives til $(2) \;\; (ab + 1)(kb - a) = b - 7k$. La oss se nærmere på følgende tre tilfeller: $(I) \;\; b<7k$. Så $7k-b > 0$, som kombinert med $ab+1 | 7k-b$ ...

Vi skal finne alle trekanter med sider av lengde $(a,b,c) = (\sqrt{n-3}, \sqrt{n}, \sqrt{n+3})$, ($n \geq 4$, $n \in \mathbb{N}$) og en av høydene i trekanten er kvadratroten av et naturlig tall. Ifølge Herons formel er arealet $A$ av trekanten $(4A)^2$ $= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ $= [(c+a) + ...

Vi har gitt den diofantiske likningen $(1) \;\; ab^2 + b + 7 = k(a^2b + a + b)$, der $a$, $b$ og $k$ er naturlige tall. Likning (1) er ekvivalent med $(2) \;\; (ab + 1)(b - ka) = kb - 7$. Anta $ka>7$. Ifølge (1) må $(3) \;\; b| ka-7$, hvilket gir $b \leq ka-7$, i.e. $b - ka \leq -7$, som kombinert m...

Du har oversett en mulighet her, nemlig den at de partiellderiverte er lik 0 når $x=0$ (og ${\textstyle \lambda = \frac{1}{2y}}$). Dermed får du at $f(0,y) = y = \pm 1$ siden bibetingelsen blir $y^2 = 1$ når $x=0$. M.a.o. er $f(x,y)_{min} = f(0,-1) = -1$ og $f(x,y)_{max} = f(0,1) = 1$.

Ved å anvende det faktum at i en aritmetisk rekke $(1) \;\; x_1 + x_2 + x_3 + \ldots$ er $x_1 + x_3 = 2x_2$, får vi at ${\textstyle (2) \;\; \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{2}{x+y}}$. Ved å multiplisere begge sider av (2) med $(x+1)(y+1)(x+y)$, blir resultatet $(x+y)[(x + 1) + (y+1)] = 2(x+1)(...

Anta at $x = c_n c_{n-1} \ldots c_0 = \sum_{i=0}^n c_i \cdot 10^i$ hvor $c_n \neq 0$. De gitte kravene gir $\sum_{i=0}^n c_i \cdot 20^i = 2 \sum_{i=0}^n c_i \cdot 13^i$, i.e. $(1) \;\; \sum_{i=0}^n c_i(20^i - 2 \cdot 13^i) = 0$. Ved å sette $d_i = 20^i - 2 \cdot 13^i$ får vi via (1) at $\sum_{i=0}^n...

Ved å faktorisere den nevneren som er andregradspolynom i hver ligning, og deretter gange begge sider av ligningen med nevnte andregradspolynom, kan du løse de tre ligningene. For eksempel blir Oppgave B \frac{3}{x} - \frac{2}{x-2} = \frac{2x+2}{x(x-2)} \;\; | \; x(x-2) 3(x-2) - 2x = 2x+2

Du må først derivere $V$ mhp. $x$ slik at du bestemmer $V^{\prime}(x)$. Deretter må du løse ligningen $V^{\prime}(x) = 0$ (da får du løsning(er) av typen $x = f(a)$) for å finne ekstremalpunktene til $V$.

Jeg har kommet fram til samme svar som Brahmagupta , men min løsningsmetode er anderledes: Ut fra de gitte opplysningene er sidelengdene i trekanten $n-1$, $n$ og $n+1$, der $n \geq 3$ er et heltall. Det faktum at lengden av en av høydene $h$ i trekanten er 8 mindre enn en av sidelengdene innebærer ...

Ved et uhell slettet jeg følgende interessante problem av signaturen LAMBRIDA:

I en trekant der lengdene av sidene er tre påfølgende naturlige tall, er en av høydene i trekanten 8 mindre enn en av sidelengdene i trekanten.
Hvor lange er sidene i trekanten?

Vi har at

[tex]3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 1[/tex]

som multiplisert med 7 gir

[tex]3 \cdot 7 + 2 \cdot (-7) = 7[/tex].

Altså er [tex]x=7[/tex] og [tex]y=-7[/tex] en løsning av

[tex](1) \;\; 3x + 2y = 7[/tex].

Følgelig er den generelle løsningen av (1)

[tex]x = 7 - 2t,[/tex]

[tex]y = -7 + 3t,[/tex]

der [tex]t[/tex] er et vilkårlig heltall.

Vi har at

[tex]\cos 2u = 2\cos^2 u - 1[/tex]

som gir

[tex](1) \;\; \cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}[/tex].

Ved å sette [tex]u=2x[/tex] i (1), blir resultatet

[tex]{\textstyle \cos^2 2x = \frac{1}{2}(1 + \cos 4x)}[/tex].