Hei og velkommen til forumet! For å ikke få så mange spesialtilfeller restrikterer vi oss til tilfellet hvor vi har $n$ ligninger og $n$ ukjente (n=3, i oppgaven du beskriver). 1), 3) Først og fremst hvis det i den utvidede matrisen på trappeform har et pivotelement i den siste søylen, så har system...

(Alle summer er sykliske med mindre noe annet er nevnt). Fra $(a-b)^2\geq0$ følger $$(a+b)^2\geq4ab\Longleftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}=2\dfrac{1}{\frac{ a+b}{2}}$$ Vi lar $f(x_1,x_2,...,x_n):=\sum\frac{1}{x_i}$, og med denne notasjonen har vi nettopp vist at $f(a,b)\geq f(\...

2) Løser vi ligningen for $y$ ender vi opp med $y=-(x+p)^2/(3x+2p)$. La nå $q$ være et primtall som deler $(x+p)^2$ og $(3x+2p)$. Dermed $q|(x+p)$ slik at $q|p=3(x+p)-(3x+2p)$. Det vil si at $3x+2p=\pm1$ eller $3x+2p=\pm p$ for at $y$ skal være et heltall. $3x+2p=p$ gir ingen løsning siden $p>3$, me...

1) Siden $2^x+2^{-x}>0$ følger det at $(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x}=9 \Rightarrow 2^x+2^{-x}=3$. Dermed $8^x+8^{-x}=2^{3x}+2^{-3x}=(2^x+2^{-x})(4^x-1+4^{-x})=3(7-1)=18$. 2) (I Eulers ånd) \[ \prod_{n=0}^\infty (1+x^{2^n})=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x^{2^n}}=\frac1{1-x}\] Alternativt k...

Forresten Brahmagupta, er det lov å spørre om en nærmere forklaring på hvordan du angrep den første oppgaven? Løsningen er elegant, men hva var motivasjonen for å bruke $1+x\leq e^x$? Hadde du sett den brukt før? En annen ting er hvordan man faktisk viser at $1+x\leq e^x$; godt mulig det er åpenbar...

Supert! Kanskje greit å nevne at substitusjonen du benytter gir positive $x,y,z$ nettopp fordi $a,b,c$ er sidene i en trekant. Et alternativ til siste delen av argumentet er følgende: \[(x+y)(y+z)(z+x)\geq 2\sqrt{xy}2\sqrt{yz}2\sqrt{zx}=8xyz .\] Tanken var at $2r\leq R$ er ekvivalent med $(a+b-c)(c+...

En delvis relatert oppfølger: La $T$ være en trekant og la $r$, $R$ være radiene
i henholdsvis den innskrevne og den omskrevne sirkelen til $T$. Vis at $2r\leq R$
og avgjør når det er likhet.

Siden $a,b,c>0$ ser vi at ulikheten er ekvivalent med \[(1+\frac{b-c}{a})^a(1+\frac{c-a}{b})^b(1+\frac{a-b}{c})^c\leq 1.\] Vi har videre at $1+x\leq e^x$ for alle $x\in\mathbb{R}$ med likhet hvis og bare hvis $x=0$. For $r>0$ og $x\geq -1$ følger da $(1+x)^r\leq e^{rx}$. Merk nå at siden $a,b,c$ er ...

Rekken \[\sum_{i=1}^\infty\left( \sum_{k=n_i}^{n_{i+1}-1}\frac1{k}\right)=\sum_{k=n_1}^\infty \frac1{k}\] divergerer siden den harmoniske rekken divergerer. Hvis vi observerer at for enhver $i\in\mathbb{N}$ så er \[\frac{n_{i+1}-n_i}{n_i}\geq\frac1{n_i}+\frac1{n_i+1}+\cdots+\frac1{n_{i+1}-1}= \sum_{...

Tror ikke oppgaven var så intressant, haha Problemet er at oppgaveteksten ikke var tydelig. Du skrev at $A,B,C,D$ skulle være kantene på kuben som treffer kula. Dette gir jo ingen mening. Utifra løsningen din, så lar du disse punktene være de fire hjørnene som ligger på kula over $xy$-planet (etter...

Hvis det er slik at oppgaven går ut på å finne tall slik at regnestykket går opp, under betingelsen om at forskjellige bokstaver må være forskjellige tall, fant jeg tre løsninger. Jeg er også rimelig sikker på at dette er alle løsningene, har dog ikke gått gjennom dette så nøye. De er som følger 1) ...

\[\frac{6x^3}{6x^3-54x}=\frac{x^3}{x^3-9x}=\frac{x^3-9x+9x}{x^3-9x}=\frac{x^3-9x}{x^3-9x}+\frac{9x}{x^3-9x}=1+\frac{9x}{x^3-9x}.\]
Dette er tilsvarende som å utføre polynomdivisjonen. Det siste uttrykket kan du integrere
ved delbrøksoppspalting som du skriver.

Nøkkelen ligger i at metrikken din er begrenset. Mer presist, er $|\arctan(x)|<\pi/2$ og dermed ved trekantulikheten \[\frac1{\pi}|\arctan(x)-\arctan(y)|<\frac1{\pi}2\frac{\pi}2=1.\] Videre er da $B_1(x)=\{y\in\mathbb{R}\; |\; d(x,y)<1\}=\mathbb{R}$ for enhver $x\in \mathbb{R}$. I et vilkårlig metri...

Vel, du kan ikke bruke nøyaktig samme struktur som i a), siden i dette tilfellet skal $\vartheta\not\models R(x,f(x))$. Hvis du derimot omdefinerer relasjonen litt, så vil det fungere. Eksempelvis kan du sette $R^\vartheta=\emptyset$ eller $R^\vartheta=\{(0,1),(1,0)\}$. Merk at det i alle disse oppg...

Du må nesten vise hva du har fått til og hvor du står fast. Hvis du vet hva de forskjellige begrepene og symbolene står for, så burde flere av disse oppgavene være greie. For ordens skyld tok jeg med oppgaven på en litt mer oversiktlig form. Let $c$ be a constant symbol, let $f$ be an unary function...