Definer $a_i^r=b_i$ og $q=p/r\geq 1$ slik at $a_i^p=b_i^q$. Da er ulikheten ekvivalent med \[(b_1+\cdots+b_n)^q\geq b_1^q+\cdots + b_n^q. \] Det er rimelig åpenbart at denne ulikheten er sann, men for kompletthet begrunner jeg dette også. La $S=b_1+\cdots+b_n$ og definer $c_i=b_i/S$. Deler vi begge ...

Siden vi er ute etter det minste tallet som oppfyller dette kravet, så er det rimelig og prøve seg frem med tosifrede tall (det er klart at et tall med kun et siffer ikke kan være lik tre ganger sin egen tverrsum). Et tosifret tall kan skrives på formen $n=10a+b$ hvor $0\leq b\leq 9$ og $0<a\leq 9$....

Generelt er
\[x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1}=(x^n+y^n+z^n)(x+y+z)-(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(xy+yz+zx)+(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})xyz,\]
så det holder å finne verdiene til $xy+yz+zx$ og $xyz$.

I siste linje skal du få $33$ ikke $32$. Da kan du løse $y^2+2=3,11,33$ og dermed finne de riktige løsningene. Dette er dog en noe ineffektiv fremgangsmåte. For at $\frac{y^3+5}{y^2+2}=y+\frac{5-2y}{y^2+2}$ skal være et heltall må $|5-2y|\geq y^2+2$. Ved å løse de to aktuelle ulikheten ser man at de...

Og du sier "Men dette er jo helt klart tilfellet, gitt et heltall x vil det alltid finnes et heltall z som er større eller lik x.", sier ikke du at $A$ er sann her? Beklager dette, jeg mente å skrive "mindre eller lik"! Ser at det skaper forvirring. Og ja, det er også riktig at ...

Nøkkelen ligger i å vite nøyaktig hva $A\rightarrow B$ betyr. Denne implikasjonen er kun usann hvis og bare hvis $A$ er sann og $B$ er usann. I alle andre tilfeller er den sann ($A\rightarrow B$ er logisk ekvivalent med $\neg A\lor B$)! Spesielt vil den alltid være sann så lenge $A$ er usann. La oss...

Gitt et polynom $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$, så har vi at $P'(0)=a_1$ (deriver og sett $x=0$). Det vil si at for å løse problemet holder det å avgjøre hva koeffisienten til $x$ blir når produktet ganges ut. Så hvilke produkter ender opp på formen $bx$? \[y=(x+2)(x+2^2)\cdots(x+2^{18...

Det formelle argumentet er at siden $\cos{t}$ er strengt avtagende på $[0,\pi]$ (den deriverte $-\sin{t}$ er negativ på $(0,\pi)$), så vil $c<x$ implisere at $\cos{c}>\cos{x}$. Dette er ikke noe spesielt for cosinus, men gjelder for alle avtagende funksjoner. Det er ikke slik at $\cos{x}$ må være ne...

Jeg mente deg! Du har vist at $\sin{x}/x=\cos{c}$ hvor $0<c<x$, og videre
ønsker du å vise at $\cos{c}>\cos{x}$. Tegn opp grafen til cosinus mellom
$0$ og $\pi$. Hvis $c<x$ må det ikke da være slik at $\cos{c}>\cos{x}$?

Du er nesten helt i mål! Det eneste du trenger å vise nå er at $\cos{c}>\cos{x}$. Vi vet at $c\in (0,x)$ og $x\in[0,\pi]$, eller ekvivalent $0<c<x\leq\pi$. Som jeg skrev i innlegget tidligere så er $\cos{x}$ strengt avtagende på intervallet $[0,\pi]$. Ser du hvorfor ulikheten over følger fra dette?

\[\frac{\sin{x}}{x}=\frac{\sin{x}-\sin{0}}{x-0}=(\sin{c})'=\cos{c}>\cos{x} \]

Den siste overgangen fungerer siden $c\in (0,x)$ og $\cos{x}$ er strengt avtagende
på dette intervallet.

Du gjør det nok litt vanskelig for deg selv her!

La $f(x)=\sin{x}$ og benytt middelverdisetningen med $a=0$ og $b=x$.
Ser du nå hvordan du kan oppnå den siste ulikheten?

Vis at for positive reelle tall $a,b,c$ gjelder ulikheten
\[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1.\]

For meg ser det ut som at du har ekvivalenspiler mellom alle ulikhetene fra den som skal vises helt til du setter inn $x_i=1$ etter AM-GM og får dette. Vil det ikke da være slik at likheten i quoten ovenfor med $x_i=1$ vil være ekvivalent med likheten i den originale ulikheten med $x_i=1$? Med andr...

Fine løsninger! Benyttet samme argument på den andre oppgaven. Oppfølger: La n være et naturlig tall og $x_1,x_2,...,x_n>0$ er reelle tall slik at $x_1\cdot x_2\cdots x_n=1$. Vis at $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$ EDIT: Har sett en løsning av denne som benytter Kara...