Betrakt et slikt linjestykke $\ell$ med endepunkter $(a,0)$ og $(0,\sqrt{1-a^2})$, og la $f$ være funksjonen vi skal finne. La $\ell'$ være et annet vilkårlig linjestykke med endepunkter $(b,0)$ og $(0,\sqrt{1-b^2})$, og si at $\ell\cap\ell'=S$. For å finne ut hvor $f$ "burde" tangere $\el...

Du kan prøve å tilnærme med en sinuskurve?

Flott initiativ!

Summen av kvadratene av tallene er invariant under prosessen, så svaret er nei.

Husk at $1/a^{\frac34}=a^{-\frac34}\neq a^{\frac43}$. Fungerer dette? Kan jeg for eksempel ta de antakelsene jeg har tatt? Vi antar at $a = b = c$, slik at vi kan bruke AM-GM. Siden $abc = 1$, må da $a=b=c=1$ AM-GM gir Her er idéene du bruker riktige, men føringen feil: Vi kan ikke fritt anta $a=b=c...

Her er hva jeg ville kalt en elementær løsning: Vi viser den litt mer generelle ulikheten \[\sum_{cyc}\frac{abc}{(2a+b+c)^3}\leq \frac{3}{64}\] for alle $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Siden denne er homogen kan vi wlog anta at $a+b+c=1$. Da er \[ bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}=\frac{(a-1)^2}{4}, \] slik at \[ \...

Jeg ville løst den slik: Det er klart at de komplekse tallene $x,y$ og $z$ danner en likesidet trekant hvis og bare hvis \[ (y-x)=e^{\pm \frac{\pi}{3}}(z-x)\iff y-\frac12x-\frac12z=\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(z-x)\iff \left(y-\frac12x-\frac12z\right)^2=\left(i\frac{\sqrt{3}}{2}(z-x)\right)^2\iff x^2+y^2...

Siste siffer i $a_{n+1}$ er kun avhengig av de siste sifrene i $a_n$ og $a_{n-1}$, men det er kun et endelig antall valg for disse, så vi må ha en repetisjon fra et eller annet sted. At det kun er et endelig antall muligheter for elementene betyr vel ikke at følgen vil være periodisk. F.eks. er jo ...

Jeg ville nok gjort det som deg, og jeg synes ikke det tar så lang tid heller. For det første så vil siste siffer til tallene følgen helt sikkert følge et periodisk mønster: Siste siffer i $a_{n+1}$ er kun avhengig av de siste sifrene i $a_n$ og $a_{n-1}$, men det er kun et endelig antall valg for d...

Legger ved et løsningsforslag. Si ifra hvis dere finner noen feil.

Et par tips til trening: Til første (og andre) runde tror jeg det handler mest om å løse mange oppgaver og ha litt rutine. Det handler mindre om å kunne teori, og mer om å finne lure triks der og da. Å løse gamle oppgaver gir trening i nettopp det, samtidig som man får tettet kunnskapshullene man ev...

Alternativt: Hvis $f(x)=ax^2+bx+c$, så er vi gitt $f(1)>0$. Hvis $c=f(0)\leq 0$ så må $f$ ha en rot i $[0,1)$, en motsigelse.

Alternativt så følger det av det mer generelle resultatet som er bevist her.

Det er vel så enkel som at definisjonen av en funksjon inkluderer både domene og kodomene. På den måten vil jo ikke dine to funksjoner $i_1$ og $i_2$ være identiske likevel, siden de har ulike kodomener. Ja, ålreit. Hva er motivasjonen for å se på kroppsutvidelsen som en funksjon istedenfor den &qu...

Boken min definerer kropputvidelser slik: "A field extension is a monomorphism $i:K\to L$ where $K$ and $L$ are fields; $K$ is the small field, $L$ the large field. Notice that with a strict set-theoretic definition of function, the map $i$ determines both $K$ and $L$." Hva menes med den s...