Summen S av rekken er $S = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{4^n} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{4^n} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{4^n} = -\sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{1}{2} \Big)^n - \sum_{n=0}^{\infty} \Big( \frac{3}{4} \Big)^n = -\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{1}{1 - \frac{3}{4}}...

Du bruker formelen for avstand mellom et plan og et punkt (står på side 213 i Sinus R2-boka) til å vise at avstanden mellom planet og sentrum i kula er 12.

Vi har gitt likningen $(1) \;\; 5F_x - 3F_y = 1$, der $F_1=F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, \ldots$ er Fibonacci-følgen. Likning (1) gir x<y . Anta at $y \geq x+2$. Herav følger at $F_y \geq F_{x+2} = F_{x+1} + F_x \geq 2F_x$, som i kombinasjon med likning (1) medfører at $6F_x \leq 3F_y = 5F_x - 1$, i.e...

Nå er $\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax}$ $= \frac{\Big( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 + ax} \Big ) \Big ( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax} \Big )}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$ $= \frac{(x^2 + x) - (x^2 + ax)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$ $= \frac{(1 - a)x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 + ax}}$...

Fasiten er feil. Det følger av artikkelen om «utfallsrom» i STORE NORSKE LEKSIKON (https://snl.no/.search?query=Utfallsrom).

$x_n$ er antall mg av virkestoffet som pasienten har i kroppen rett etter å ha tatt tablett nr. n. Etter to døgn etter inntak av tablett n er det $24 \cdot 0,4^{2k}$ mg av virkestoffet i tablett nr. n-k igjen i pasientens kropp. Så rett etter inntak av tablett nr. $n+1$ er antall mg av virkestoffet ...

Anta at $x_1,x_2, \ldots ,x_n$ er $n$ ulike naturlige tall som tilfredsstiller likningen $(1) \;\; \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{P_n} = 1$, der $P_n = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n$. I fortsettelsen lar vi $S_n$ være venstre side av likning (1). Vi definerer den monot...

Ble først oppmerksom på denne julenøtten i dag, og fant den såpass interessant at jeg har har grublet og funnet følgende løsning av denne mye omtalte julenøtten: La $k$, $p$ og $x \leq y \leq z$ være hhv. klokkerens, prestens og de tre kvinnenes alder i år. Ut fra opplysningene gitt i oppgaveteksten...

Problemet kan illustreres med følgende figur der r er radien i den lille sirkelen med sentrum i B: Femkantfigur.pdf Vi ser av den rettvinklete trekanten til høyre at ${\textstyle (1) \;\; AB = 10 \cdot \cos 36^{\circ} = 10 \cdot\big( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \big) = \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big...

Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1. Dette betyr at alle partall > 2 er kvadrati...

La x være lengden på den minste røde esken og la n være antall røde esker. Da vil summen av overflatene og sidelengdene på de n eskene være $O_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} [6(x + 3k)^2 + 12(x + 3k)]$ $= \sum_{k=0}^{n-1} [6(3y + 3k)^2 + 12(3y + 3k)] \;\;\; (x=3y)$ $= \sum_{k=0}^{n-1} [54(y + k)^2 + 36(y +...

La M det reverserte tallet til N<1000000000. Ved å velge N=999 999 990 får vi at $\frac{N}{M} = \frac{999 999 990}{99 999 999} = 10$. Hvis det finnes et tall N slik at 999 999 990 < N < 1 000 000 000 som har den egenskapen N er delelig med M, må N=999 999 990 + x, der 0 < x < 10, hvilket betyr at de...

Alternativ løsning Vi har gitt to naturlige tall $k$ og $n$ som tilfredsstiller den diofantiske likningen $(1) \;\; k! = \prod_{i=0}^{n-1} (2^n - 2^i)$. For $k \leq 3$ har vi likningen (1) løsningene $(k,n)=(1,1)$ og $(k,n)=(3,2)$. Anta at $k \geq 4$, hvilket betyr at $n \geq 3$. Ved hjelp av Legen...

Ved å sette $(1) \;\; (a,b,c) = (x-y,y-z,z- y)$, får vi $abc \neq 0$ (ettersom $x,y,z$ er ulike heltall) og $(2) \;\; a + b + c = 0$. Ved å kombinere (2) med binomialformelen blir resultatet $a^5 + b^5 + c^5 = a^5 + b^5 - (a + b)^5 = -5ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3) = -5ab[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + 2...

De eneste kombinasjonene av tre terninger som gir sum lik 15 er (5,5,5), (6,6,3) og (6,5,4). Så ved å ta med permutasjonene av disse tre triplene får vi 1 + 3 + 6 = 10 kombinasjoner av tre terninger som har sum lik 15. Dermed blir sannsynligheten for å få summen 15 ved kast av tre terninger $\frac{1...