$m \dfrac{dv}{dt} = mg-kv^2$ gir den separable diff-likningen $\dfrac{dv}{mg-kv^2} = \dfrac{1}{m}dt$, som kan forenkles litt: $$\dfrac{1}{mg}\dfrac{dv}{1-(k/mg)v^2} = \dfrac{1}{m}dt\Longrightarrow \int\dfrac{dv}{1-(\alpha v)^2} = \int g~dt = gt + C$$ der $\alpha = \sqrt{k/mg}$. Det som gjenstår er å...

Om det er vanskelig er nok litt subjektivt, men jeg tror ikke du kommer til å ha noe problem med det, så lenge du sørger for at du forstår det Taylors teorem bygger på. Du kan også lære deg å bruke Taylorrekker uten å forstå det på et dypere nivå, og heller utvikle forståelsen senere. Hvis du er på ...

Det enkleste beviset (til min kjennskap) bruker Taylorrekker, som man ikke lærer om før på universitetet. Taylorrekker er derimot ikke så vanskelige å forstå. Tanken er at en vilkårlig funksjon $f$ kan skrives som potensrekke, altså $f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$. Det er visse tekniske krav fo...

Ikke en formell løsning, men: Når $a$ og $b$ er store nok, så er \sum_{i=a}^b \dfrac1i \approx \int_a^b \dfrac{{\mathrm d}x}{x} = \ln(b/a) en god tilnærming (ettersom funksjonen $1/x$ "flater ut", som man kan se på denne figuren: http://www.goo.gl/ryyLH3 ) Dermed har man at \lim_{n\to\inft...

Generelt har man at $\int_a^b f(x)~\mathrm{d}x = \int_a^b f(a+b-x)~\mathrm{d}x$. Dette gir $I = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{1+(\tan{x})^\sqrt{2}}\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{1+(\tan{(\pi/2 - x)})^\sqrt{2}}\mathrm{d}x$ Her er $\tan(\pi/2-x) = \dfrac{\sin(\pi/2-x)}{\cos(\pi/2-x)} = \dfrac{\cos{x}...

Noen som klarer denne godbiten? $ \hspace{1cm} \hspace{1cm} \int_0^{1/2} \frac{\log x}{x} \cdot \frac{\log(1-x)}{1-x} \,\mathrm{d}x $ Begynner med å skrive om integranden ved delbrøksoppspalting: $$\dfrac{\log{x}}{x}\cdot\dfrac{\log(1-x)}{1-x} = \log{x}\log(1-x)\dfrac{1-x+x}{x(1-x)} = \log{x}\dfrac...

Det er lett å se at $P(x) = 0$ er en løsning. Anta at $P(x)\neq 0$: Dersom $P(x)$ er et polynom av grad $n$, så er $P(P(x))$ et polynom av grad $n^2$ og $(x^2+x+1)P(x)$ et polynom av grad $n+2$. For at $P(x)$ skal oppfylle funksjonalligningen, så må $n^2 = n+2$, som har den positive løsningen $n = 2...

Svarene er egentlig like! Uttrykket symbolab kom frem til er $y' = \dfrac{y\cdot 3x^2-y\ln(y)}{x}$. Du vet fra før av at $x\ln(y) = x^3$, som gir $\ln(y) = x^2$. Innsatt i uttrykket gir dette
$y' = \dfrac{y\cdot 3x^2 - y\cdot x^2}{x} = 2xy$

For positive reelle tall $x$ definerer vi $\{x\}$ som det største tallet av $x$ og $\frac1x$, der $\{1\}=1$. F.eks. er $\{0.5\}=2$, $\{4.2\}=4.2$, $\{0.1\}=10$ etc. Finn alle positive reelle tall $x$ slik at $5x\cdot \{8x\}\cdot \{25x\}=1$. Har at $\{x\} = x$ når $x\geqslant 1$ og $\{x\} =1/x$ når ...

Oppfølger:
La $f$ være en begrenset, ikke-negativ funksjon. Vis at
$$\int_0^\infty f\left(x+\dfrac1x\right)\dfrac{\ln(x)}{x}\mathrm{d}x=0$$

La f og g være integrerbare funksjoner på intervallet [0, ~5] , begge med gjennomsnittsverdi 5 på dette intervallet. Hvis f og g er henholdsvis like og odde funksjoner, bestem \int_{-5}^2 \left( 3f(x)-7g(x) \right )\mathrm{d} x + \int_5 ^2 \left (7g(x) - 3f(x) \right ) \mathrm{d} x . \begin{align*}...

Finn alle primtall $p$ slik at $p^{2016}+p^{2017}$ er et kvadrattall.

Denne var litt morsom:
$$\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)}{x}~{\rm d}x$$

Hint: $28 = 30 - 2$ og $32 = 30 + 2$

Aleks855 skrev:$\oint \frac{dz}{e^z(z^2-1)^2}$ for $|z| = 2$

Du har ikke et lite hint? Den mest åpenbare substitusjonen ($z = 2e^{i\theta}$) gjorde ikke uttrykket noe særlig enklere