Når du skal finne vinkelen mellom tangenten og x-aksen kan du benytte sammenhengen tan(α)=dy/dx.Siden kurven din er gitt som en parameterfremstilling må du bruke kjerneregelen for å kunne løse dy/dx.
Buelengde involverer alltid en kvadratrot som kan være litt kinkig å integrere.Trikset er da å bruke ...

Takk for løsningen, liker egentlig best å bruke sammenlikningskriteriet slik du gjorde her.Trodde egentlig jeg skulle klare å løse den bare med kriteriet for alternerende rekker(noe jeg klarte også etter at jeg postet problemet, men det var ikke så elegant som din løsning).

[tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ \frac{1}{sqrt{n} +(-1)^{n+1}}[/tex]

Jeg har problemer med å vise at denne rekken konverger pga termen i nevneren som skifter fortegn.Kan noen hjelpe?

Takk, det var en fin løsning.

Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer.

[tex]\sum_{n=1}^\infty \ \frac{lnn}{n sqrt{n}[/tex]

Jeg tror den konvergerer veldig sakte, men sliter med
å vise dette.Kan noen hjelpe?

Først tar du logaritmen på begge sider av funksjonallikningen og ender oppmed:

x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]=lnx+y

Deretter deriverer du mhp x og får:

2x-2y(dy/dx)=1/x+dy/dx

Løser denne ligningen for y`:


dy/dx=(2x[sup]2[/sup]-1)/(x+2xy)

[tex]\frac{\pi}{2} \;=\; \prod_{n=1}^{\infty} \: \frac{2n}{2n-1} \cdot\frac{2n}{2n+1}[/tex]

Kanskje Wallis produktformel for [symbol:pi] er rask nok for deg?

Legg merke til at e[sup]2t[/sup] er rot i den karakteristiske ligningen.Når dette er tilfelle må du øke graden på den partikulære løsningen.

Forsøk med y[sub]p[/sub]=Ate[sup]2t[/sup] isteden

[itgl][/itgl]cosh[sup]2[/sup]tdt er rett så langt.

Ved å bruke identitetene;
cosh2t=cosh[sup]2[/sup]t+sinh[sup]2[/sup]t
og cosh[sup]2[/sup]t-sinh[sup]2[/sup]t=1

Kan vi omforme integranden til;

1/2[itgl][/itgl](cosh2t+1)dt

dette blir;

(1/4)sinh2t+(1/2)t +C

Så er sinh2t=2sinht*cosht

Dermed kan ...

coshx=[e[sup]x[/sup]+e[sup]-x[/sup]]/2

d(coshx)=([e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup]]/2)dx=(sinhx)dx

t=[e[sup]x[/sup]+e[sup]-x[/sup]]/2
2t=e[sup]x[/sup]+e[sup]-x[/sup] |*e[sup]x[/sup]
2te[sup]x[/sup]=e[sup]2x[/sup]+1
e[sup]2x[/sup]-2te[sup]x[/sup]+1=0

e[sup]x[/sup]=[2t±[rot](4t[/rot][sup]2[/sup]-4)]/2 ...

y`=y/2x dette er en separabel diff.likn

dy/dx =y/2x → dy/y=dx/2x

Ved integrasjon finner du lny=(1/2)lnx+C[sub]1[/sub]

y=[rot]x[/rot]+C

y(1)=[rot]1[/rot]+C=1 →C=0

Løsningen på initialverdiproblemet blir altså y=[rot]x[/rot]

x[sup]2[/sup]y`+2xy=e[sup]x[/sup]

Om du bruker produktregelen for ...

Svaret mitt er nok riktig.

Dette kan du enkelt sjekke selv ved å sette den totale løsningen inn i den opprinnelige ligningen.

Jeg finner ved derivasjon føgende;

sint(-A-3B)+cost(3A-B)=10sint som gir likningsystemet;

-A-3B=10
3A-B=0
A=-1 og B=-3

Slik at totalløsningen blir;

y=C[sub]1[/sub]e[sup]-2t[/sup]+C[sub]2[/sub]e[sup]t[/sup]-e[sup]t[/sup]sint
-3e[sup]t[/sup]cost

Likningen er ekvivalent med x[sup]2[/sup]-4x+8=0

Denne har løsning;

x=[4±[rot][/rot](-16)]/2

Dvs den har ingen reelle løsninger

Men den har to komplekse røtter x=2±2i ; Der i[sup]2[/sup]=-1

z=[-2b±[rot][/rot](4b[sup]2[/sup]-12)]/2

4b[sup]2[/sup]-12=0
Gir en reell rot, dvs for b=±[rot][/rot]3

4b[sup]2[/sup]-12>0
Gir to reelle røtter, dvs for bε(←,-[rot][/rot]3)U([rot][/rot]3,→)

4b[sup]2[/sup]-12<0
Gir to komplekse røtter, dvs for
bε(-[rot][/rot]3,[rot][/rot]3)