$\underline{\text{Ny oppgave:}}$
Bestem alle par av positive heltall $(m,n)$ slik at for alle positive heltall $x$ og $y$ slik at $x|n$ og $y|m$ har vi at
\[
\text{gcd}(x+y,mn)>1
\]

Siden ingen har lagt ut ny oppgave, har jeg en her:
Find all prime numbers $p$ and $q$ such that
$$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$
is a prime number.


Alle primtall $p,q$ som oppfyller dette er $\fbox{$(p,q)=(2,5)$}$.

$\textbf{Claim}$: $1+\dfrac{p^q-q^p}{p+q}=p$

$\textbf{Bevis}$: Vi kan vite at ...

$\underline{\text{Ny oppgave:}}$
La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $abc=1$. Vis at
\[
\frac{a+b+c+3}{4}\geq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}
\]

Ny ulikhet:
La $x,y,z$ være positive reelle tall slik at $xy+yz+zx=3xyz$. Vis at $x^2y+y^2z+z^2x\geq 2(x+y+z)-3$.

Vi skriver om betingelsen til
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 3
\]
Vi kan dermed skrive om ulikheten til
\[
x^2y+\frac{1}{y}+y^2z+\frac{1}{z}+z^2x+\frac{1}{x} \geq 2(x+y+z ...

$\underline{\text{Ny oppgave:}}$
La $x,y,z$ være positive reelle tall. Vis at
\[
x^2 + xy^2 + xyz^2 \geq 4xyz - 4
\]

Minste verdien er $\fbox{8}$

Vi skriver litt om og bruker AM-GM i 2 omganger:
\begin{align*}
\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} &= \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{b}{c}+\frac{d}{a}\\
&\geq 2\sqrt{\frac{ac}{bd}}+2\sqrt{\frac{bd}{ac}} \\
&= \frac{2(ac+bd)}{\sqrt{abcd}} \\
&= \frac{2(a+c)(b ...

$\underline{\text{Ny oppgave:}}$
Det er endelig mange mynter i Tristan Amadeus sin lommebok. Verdien på myntene er positive heltall, og de er parvis distinkte. Er det mulig å at Tristan Amadeus har en lommebok som er slik at han har nøyaktig 2020 forskjellige måter å velge mynter, slik at summen av ...

Svaret er $\fbox{$k=2n-1$}$.

Vi viser først at $d\leq 2n-1$. La hver $a_i$ være sin egen gruppe og slå grupper sammen helt til vi har $m$ grupper $g_1, g_2, \ldots, g_m$ som oppfyller $g_i+g_j>1$ for $i \neq j$. Da har vi at
\begin{align*}
n &= g_1+g_2+\ldots g_m \\
2n &= (g_1 + g_2) + (g_2 + g_3 ...

$\underline{\text{Ny oppgave}:}$
La $b,n>1$ være heltall. Anta at for hvert heltall $k>1$ finnes det et heltall $a_k$ slik at $b-a_k^n$ er delelig med $k$. Vis at $b$ er på formen $c^n$ for et heltall $c$.

Minste summen er $\fbox{$1+\left\lfloor\log_2(n)\right\rfloor$}.$

Vi kan oppnå dette med følgende konstruksjon:

Gitt $n$ finner vi $k$ slik at $2^k \leq n < 2^{k+1}$. For alle $l < k$ lar vi $a_{2^l} = 2^{l+1}-1$, for $l=k$ lar vi $a_{2^l}=n$ og for alle andre indekser $i \leq n$ kan vi velge $a_i ...

Følgende oppgave gjelder fortsatt:
Finn alle primtall $p,q$ som oppfyller
\[
p^3-q^3 = pq^3-1
\]

For å gi svar på den redigerte oppgaven til Lil_Flip39:

$\fbox{Det går for alle sammensatte heltall}$

$\underline{\text{Claim 1: Sammensatt $s$ gir løsning}}$

Vi skriver $s = x \cdot y = ((x-1)+1)((y-1)+1) = (x-1)(y-1) + (x-1) + (y-1) + 1$, og velger $a,b,c,d$ til å være disse 4 leddene.

Videre ...