Ny oppgave:

La $ABC$ være en spissvinklet trekant, og la $D$ og $E$ velges på linjestykkene $AB$ og $AC$ slik at $BD = CE$.
Vis at nipunktsenterene til trekantene $ADE$, $ADC$, $ABC$ og $ABE$ danner en rombe.

Svaret er $6$. Vi løser oppgaven for et generelt $4\times 2p$-rutenett der $p$ er et primtall. Vi viser først at antall flippende rutenett er lik $$\binom{2p}{p}\sum_{k=0}^{p}\binom{2k}{k}\binom{2p}{2k}.$$ Det er klart at det er $\binom{2p}{p}$ måter å velge øverste rad på. Andre rad kan også velges...

Ny oppgave: Let $u_1, u_2, \dots, u_{2019}$ be real numbers satisfying \[u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text { and } \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1.\]Let $a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$ and $b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right)$. Prove that ...

Ved å bruke AM-GM og GM-HM, samt at $abc=1$, finner vi at \begin{align*} \frac{a+b+c+3}{4} &= \frac{1}{2}\left(\frac{a+1}{2} + \frac{b+1}{2} + \frac{c+1}{2}\right) \\ &\geq \frac{1}{2}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(a\sqrt{bc} + b\sqrt{ac} + c\sqrt{ab}\righ...

Ny oppgave: Finn alle funksjoner $f\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ som er slik at for alle reelle tall $a$, $b$ og $c$ så er medianen til tallenen $f(a,b)$, $f(b,c)$ og $f(c,a)$ lik medianen til tallene $a$, $b$ og $c$. (Merk at medianen til tre reelle tall er det tallet som står i midten ...

Observer at ulikheten er ekvivalent med \begin{equation} x(x+y(y+z(z-4))) \ge -4, \end{equation} som vi betegner med (1) . Vi ser først at siden (z-2)^2\geq 0 , så er $$ Z:=z(z-4)\ge -4. $$ Dersom $Z>0$ er (1) åpenbart sann, så anta $0>Z\geq-4$. Da er diskriminanten til $y(y-Z)+4$, som er lik $\sqrt...

Ny oppgave:
La $ABC$ være en trekant med $AB = AC \neq BC$, og la $I$ være innsenteret til trekanten. Linjen $BI$ møter $AC$ i $D$, og linjen gjennom $D$ normalt på $AC$ møter $AI$ i $E$. Vis at refleksjonen av $I$ i $AC$ ligger på $(BDE)$.

(Noah sin løsning)

Av epp har vi at $JM \cdot MG = BM \cdot MC = AM \cdot MH$, så $BGCJ$ er syklisk.

Ny oppgave: Et positivt heltall kalles alternerende dersom annenhvert siffer er av forskjellig paritet (når tallet er skrevet i titallssystemet). For eksempel er $12345$ og $3876901$ alternerende, mens $134$ og $742$ ikke er det. Finn alle positive heltall $n$ slik at $n$ har et multippel som er alt...

Skrevet av Torstein. Svaret er alle $n = 2^k$ for $k\geq 1$ og alle $n = 3\cdot 2^k$ for $k\geq 0$. For hvert positive heltall $n$, lager vi en graf med noder $1$, $2$, $\dots$, $n-1$, og sier at det er en rettet kant fra $i$ til $j\neq i$ dersom $n | 2i + j$. Vi skriver at et heltall $n$ er teit de...

Ny oppgave: Vi sier at et positivt heltall $a$ inneholder et positivt heltall $b$ dersom man kan stryke ut ett eller flere av sifrene i $a$ for å oppnå $b$. For eksempel har vi at $12345$ inneholder $234$, men ikke $154$. Avgjør om det finnes en uendelig mengde av positive heltall slik at ingen elem...

La $BD$ og $CE$ skjære i $J$ og merk at $J$ er $A$-utsenteret til $ABC$. La også $BD$ skjære $c_1$ igjen i $X$, og la $CE$ skjære $c_2$ igjen i $Y$. Vi har at $\angle JBC = \angle DAC = \angle JXA$ og $\angle JCB = \angle EAB = \angle JYA$, så $X$, $Y$ og $A$ er kolineære og $XY\parallel BC$. Dermed...