La \(x_1,x_2.....\) være en følge av positive heltall slik at for alle par av positive heltall \((m,n)\), \(x_{mn}\neq x_{m(n+1)}\). Vis at det eksisterer en \(i\) slik at \(x_i>2025\).

Vi viser en sterkere påstand, nemlig at det er uendelig mange \(n\in\mathbb{N}\) slik at \(n^2+1\) har en divisor \(d\) slik at \(d(d+n)=n^2+1\). Hvis vi ser på dette som en andregrads likning med hensyn til \(d\), har vi at \(d^2+dn-n^2-1=0\). Vi vil finne uendelig mange \(n\) slik at dette har en ...

Finn alle \(n\) slik at det eksisterer en permutasjon \(a_1,a_2,......,a_n\) av \(1,2,3,4,.....,n\) slik at følgene holder:
\[\sum_{i=1}^{n}a_i(-2)^{i-1}=0\]

Først anta \(gcd(a,b,c)=1\). Merk at påstanden gitt i oppgaven impliserer \[abc\mid a^2c+b^2a+c^2b\] la \(p\mid abc\). WLOG \(p\mid a\) så har vi \(p\mid c^2b\) men siden \(gcd(a,b,c)=1\) har vi at \(p\) deler akkurat en av \(b,c\), så gitt et primtall som deler \(abc\) deler det akkurat 2 av \(a,b,...

Kall et tall vakkert hvis det har mindre lik \(9\) unike primfaktorer. A, B spiller et spill hvor de starter med \(100!\) og trekker fra tall en etter en. A starter. Eneste er at tallene som blir trukket fra må være vakre. Den som tar det siste tallet vinner. Hvem har vinnerne strategi

Svaret er nei. Vi ser på største primfaktor av /(a^n-1/) for en /(n/). Av zsigmondy har vi at vi har en ny primfaktor når /(n/) øker med 1, som betyr at største primfaktor til /(a^n-1/) vokser minst like raskt som primtallene. Av prime numbers theorem, har vi at primtallene vokser raskere enn lineær...

Siden CCPenguin ikke har lagt ut ny oppgave, legger jeg ut en tilfeldig oppgave:
finn alle tripler \((a, b, c)\) av reelle tall slik at \(ab + bc + ca = 1\) og

$$a^2b + c = b^2c + a = c^2a + b.$$

finne alle funksjoner \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) slik at
$$f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y)+1$$
holder for alle heltallt \(x,y\)

Svaret er nei. Anta at en slik funksjon finnes, og la \(z\) være et reelt tall slik at \(|f(z)|\geqslant |f(x)|\) \(\space \forall x \in \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) Dette eksisterer fordi funksjonen er begrenset. Hvis vi nå ser på \(P(z,\frac{1}{z})\) har vi: \[f(z)^2\geqslant f(z+\frac{1}{z})^2\geqsl...

Prove that for any real numbers \(a,b,c,d \geq \frac{1}{3}\) the following inequality holds:
$$\sqrt{\frac{a^6}{b^4+c^3}+\frac{b^6}{c^4+d^3}+\frac{c^6}{d^4+a^3}+\frac{d^6}{a^4+b^3}}\geq \frac{a+b+c+d}{4}$$

Påstand 1: Vi har \(xy-\frac{1}{xy} \geqslant 2\sqrt{(x-\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})}\) når \(x,y>1\) Bevis: \[(x-1)(y-1)\geqslant (\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)\Longleftrightarrow xy-x-y\geqslant \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Longleftrightarrow xy-\frac{1}{xy}\geqslant x-\frac{1}{x}+y-\frac{1...

finn alle ikke negative heltall \(n\) slik at \(n^2+n+1\) er kvadrattall

\((n,k)=(2,2),(3,2),(5,3)\) Først prøver vi \(n=2\), da har vi \((2,2)\) funker. Vi deler på \(n\), da har vi \((n-1)!+1=n^{k-1}\) Da har vi : \((n-1)!=n^{k-1}-1\) Observer at siden \(n>2\) har vi \(n-1\) er partall, så \(n\) må være oddetall. (faktisk må \(n\) være et primtall) Nå, ser vi på \(v_2\...

Tristian Amadeus og Lil flip spiller et spill på et \(3\times1001\) brett som har alle ruter hvite. Hver spiller, i hans tur fargelegger 2 ruter i samme rad eller kolonne svart, og de må ikke være intill hverandre. Spilleren som ikke kan spille mer taper. Tristian Amadeus starter. Både Tristan og Li...

Lemma 0: I et trapes(eller generell konveks firkant) former midtpunktene på sidene et parallelogram, og da følger det også at diagonalene to-deler hverandre. Bevis: følger av midtlinjer, hvor 2 par av linjer er parallele med diagonalene i firkanten. lemma 1: Hvis vi har 2 romber som har parvis paral...