Let $a$, $b$, $c$ be real numbers greater than or equal to $1$. Prove that
\[ \min \left(\frac{10a^2-5a+1}{b^2-5b+10},\frac{10b^2-5b+1}{c^2-5c+10},\frac{10c^2-5c+1}{a^2-5a+10}\right )\leq abc. \]

Det finnes ingen slike polynomer \(P\). Vi starter med et å vise \(P(0)=0\).
Anta \(P(0)\neq 0\).vis vi plugger inn \(0\) får vi
\[1=\prod_{k=1}^{n-1}P(k)(-1)^{n}\]
som impliserer at \(P(k)=\pm 1\) for alle \(k\leq n-1\). Hvis vi nå har \(P(k)=1\), får av å plugge inn \(1\) at \(P(1)=0\), som ...

Let $n$ be an odd positive integer, and let $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ be non-negative real numbers. Show that \[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \]where $x_{n+1}=x_1$.

Svaret er \(2n+2\). Vi kaller en løsning primitiv hvis \(2017\nmid x,y\). La \(p_n\) være antall primitive løsninger for \(n\).
Påstand: \(p_n=4\) for alle \(n\). Vi viser \(p_n=p_{n-1}\), og da er vi ferdig siden det er lett å se at \(p_1=4\).
Anta \(a,b\) er en løsning for \(a^2+2016b^2=2017^{n-1 ...

A circle is divided into $432$ congruent arcs by $432$ points. The points are colored in four colors such that some $108$ points are colored Red, some $108$ points are colored Green, some $108$ points are colored Blue, and the remaining $108$ points are colored Yellow. Prove that one can choose ...

Det er ikke mulig. Fargelegg brettet på følgene måte:
:arrow: :mrgreen: :oops: :mrgreen: :arrow:
:mrgreen: :twisted: :roll: :twisted: :mrgreen:
:oops: :roll: :?: :roll: :oops:
:mrgreen: :twisted: :roll: :twisted: :mrgreen:
:arrow: :mrgreen: :oops: :mrgreen: :arrow:
Anta nå at hver rute har ...

Let $ ABC$ be a triangle with $ \angle A < 60^\circ$. Let $ X$ and $ Y$ be the points on the sides $ AB$ and $ AC$, respectively, such that $ CA + AX = CB + BX$ and $ BA + AY = BC + CY$ . Let $ P$ be the point in the plane such that the lines $ PX$ and $ PY$ are perpendicular to $ AB$ and $ AC ...

La $R$ være skjæringene av diagonalen i kvadratet. Også lar vi $Æ,Ø$ være skjæringene av $SE,TF$ med $BC$. Nå har vi av pascal at $C,E,F,P,B,R$ ligger på et kjeglesnitt, som impliserer at $R$ ligger på sirkelen med diameter $BC$. Av pascal igjen får vi $Æ,H,T$ ligger på linje. På lik måte får vi $Ø ...

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral inscribed in circle $\omega$ whose diagonals meet at $F$. Lines $AB$ and $CD$ meet at $E$. Segment $EF$ intersects $\omega$ at $X$. Lines $BX$ and $CD$ meet at $M$, and lines $CX$ and $AB$ meet at $N$. Prove that $MN$ and $BC$ concur with the tangent to $\omega ...

La \(R=AP\cap BC\). Av ceva ser vi at \(R\) er midtpunktet på \(BC\).
Påstand: \(N=(BPR)\cap (ACR)\).
Vi viser at \(N\) ligger på begge sirklene:
\[\measuredangle NBC=\measuredangle NEA=\measuredangle NPA\implies N\in (BPR) \]
\[\measuredangle NRA=\measuredangle NBE =\measuredangle NCA\implies N\in ...

La \(a_0,a_1,a_2\dots \) være definert rekursivt slik at \(a_0\) er ikke en \(2\)-er potens, og for alle ikkenegative heltall \(n\) har vi hvis \(a_n\) er partall, så er \(a_{n+1}\) den største odde faktoren til \(a_n\). Hvis \(a_n\) er odde, så er \(a_{n+1}=a_n+p^2\) hvor \(p\) er minste primfaktor ...

\((a,b,n)=(3,5,3),(5,3,3),(1,1,n)\) hvor \(n\geq 2\) er de eneste løsningene. Først ser vi at hvis \(2\mid a\) eller \(2\mid b\) får vi motstigelse umiddelbart, siden hvis \(v_2(a)\le v_2(b)\) vil \(v_2(a^n+b)=v_2(b)\) som er en motstigelse. Dermed får vi \(\gcd(a,b)=1\). Hvis \(a\) eller \(b\) er ...

Ny oppgave:
La \(ABC\) være en spissvinklet trekant. \(\) la \(H\) være orthosenter, og la \(BH\cap AC=E\) og \(CH\cap AB = F\). La høyden fra \(A\) til \(EF\) skjære \(BC\) i \(R\). La \(D\) være foten fra \(A\) til \(BC\). La sirkelen med diameter \(AD\) skjære \(AB,AC\) i \(M,N\). La tangentene i ...

:mrgreen: (Teorem) La $(ABD)$ møter $AC$ og $AF$ i $C^{\prime}$ og $F^{\prime}$.Da har vi $\text{Evil}^{\triangle{ABC}}_{F, B}(D) = BC^{\prime} \cap D F^{\prime}$. Dette er velkjent. Nå, av symmetri, er det tilstrekkelig å vise at $D$, $\text{Evil}^{\triangle{BAC}}_{F,A}(D)$, $\text{Evil}^{\triangle ...

Let $k$ be a positive integer. lfe has a dictionary $\mathbb{D}$ consisting of some $k$-letter strings containing only the letters $A$ and $B$. lfe would like to write either the letter $A$ or the letter $B$ in each cell of a $k \times k$ grid so that each column contains a string from $\mathbb{D ...