The equilateral triangle \(\triangle\) is partitioned into n smaller equilateral triangles with side lengths \(a_1, a_2, . . . ,
a_n\). (The smaller equilateral triangles have sides parallel to those of \(\triangle\).) Prove that there
exist \(\epsilon_1,\epsilon_2\dots ,\epsilon_n ∈ \){\(−1, 1 ...

Svaret er \(n-\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2}\rceil\)
La hvert element i \(S\) være på formen \(2^{a_i}3^{b_i}m_i\) hvor \(\gcd(m,6)=1\).

Påstand: Vi kan anta at alle tallene i \(S\) er på formen \(2^a3^b\).
Bevis: Anta at vi har mer enn \(1\) verdi som \(m_i\) kan være. For hver verdi av \(m_i ...

Let $ABC$ be a triangle. Consider the points $D,E,F$ as the feet of the altitudes from $A,B,C,$ respectively, and $H$ its orthocenter which we suppose is the midpoint of $CF$. Let $M$ be the midpoint of $BC$, $N$ be the midpoint of $BE$, and $X=(AN)\cap(MF).$ \\ Prove that $\angle HXM=90^\circ$.

Vi bruker induksjon. Åpenbart stemmer påstanden for \(n=1\). Anta nå at \(n=k\) stemmer. La \(m\) være slikat \(5^k\mid m\) og \(m\) har \(k\) siffer. Nå lar vi \(s=l\cdot 10^k+m\), hvor \(l\) er et odde-siffer. Vi vet at \(5^k\mid s\). Hvis vi deler bort \(5^n\), er det mulig å få det resterende ...

lfe har veldig veldig mange mynter. Han har faktisk uendelig mynter med verdi \(1\), \(10\) og \(25\). lfe vil finne en samling av penger som har verdi akkurat \(N\). Ife er altså ganske grådig, så han bruker den såkalte grådigmetoden for å velge mynter. Hver gang lfe skal velge mynt, velger han ...

Siffersummen er \(27\), og \(N=582912=2024\times 2^5\times 3^2\). \(d(N)=108\).
Først vet vi at antall divisorer til et tall er produktet av \(v_p(n)+1\) for alle primtall \(p\). Vi ser på tallene mellom \(100\) og \(110\). \(101,103,107,109\) er alle primtall, så det kan åpenbart ikke være antall ...

La \(a,b\) være tilfeldige 3-siffra tall og anta \(a>b\). Vi sier at \(a\) mogger \(b\) hvis hvert eneste siffer i \(a\) er større en det tilsvarende sifferet i \(b\). Hva er sjansen for at \(a\) mogger \(b\)?

Svaret er \(44\) ellerno.
Vi setter opp likning. la \(1998 = c\). La katetene ha lengde \(a,b\).
Av pytagoras får vi da at \[ab = c(a+b+\sqrt{a^2+b^2})\]
eller\[(ab-ca-cb)^2=c^2(a^2+b^2)\]
Når vå åpner opp får vi
\[a^2b^2+c^2b^2+c^2a^2-2ca^2b-2cab^2+2c^2ab=c^2a^2+c^2b^2\]
\[a^2b^2-2ca^2b-2cab^2+2c ...

The numbers $p$ and $q$ are prime and satisfy
\[\frac{p}{{p + 1}} + \frac{{q + 1}}{q} = \frac{{2n}}{{n + 2}}\]
for some positive integer $n$. Find all possible values of $q-p$.

WLOG \(m>n\). La da \(d=m-n\). Først ser vi på tilfellene \(d=1,2\). Da er det lett å se at likhet holder når \(m-n=1\), og \(m-n=2\) og \(m,n\) er begge partall. Vi viser at ulikheten er streng for alle andre \(m,n\). Legg merke til at \(\gcd(m,n) = \gcd(m,d)\mid m\), og vi får også at \(\gcd(m+1,d ...

Let $a_0,a_1,\dots,a_{2024}$ be real numbers such that $\left|a_{i+1}-a_i\right| \le 1$ for $i=0,1,\dots,2023$.
a) Find the minimum possible value of $$a_0a_1+a_1a_2+\dots+a_{2023}a_{2024}$$
b) Does there exist a real number $C$ such that $$a_0a_1-a_1a_2+a_2a_3-a_3a_4+\dots+a_{2022}a_{2023}-a_{2023 ...

Vi viser følgene påstand som løser oppgaven:
for \(n>3\) odde, så er enten \(n!+1\) sammensatt eller \((n!-n)!+1\) sammensatt.
Bevis: Anta at \(n!+1=p\) hvor \(p\) er et primtall. Legg merke til at vi har det vekjente resultatet av wilsons at \[n!(p-1-n)!\equiv 1\pmod p\]siden vi har at \(-i\equiv ...

ny opppgave:
The point $D$ on side $BC$ of triangle $ABC$ $(BC > AB)$ is such that $\angle ADB = \angle BAC$. The angle bisectors of $\angle ACB$ and $\angle ADB$ intersect at $L$, and $AK$ ($K\in BC$) is the angle bisector $\angle BAC$. The circumcircle of triangle $ADK$ intersects the line $AB ...

La \(X,Y\) være antipodene til \(I_1,I_2\) i de 2 sirklene. La også \(I\) være insenteret i \(ABC\). Legg merke til at siden \(\angle I_1DI_2=90^\circ\) så får vi at \(Y,I_1,D\) og \(X,I_2,D\) ligger på linje. Nå, gjør vi litt kryssforhold:
\[-1 = (X,I_1;O_1, \infty_{BI}) \overset{I_2}{=} (D, I_1I_2 ...

Dette er et nytt maraton som er ment for øving til runde 2 av abelkonkurransen. I forhold til de andre maratonene, vil denne ha lavere vanskelighetsgrad, hvor oppgavene skal ha vanskelighetsgraden til oppgave 9 eller 10 på runde 2. Merk at det er viktig å utlede svaret og ikke bare skrive tall! Her ...