Finn alle positive heltall \(n\) slik at
\[v_2(3^k-n)\] er ubegrenset (Altså kan bli større en alle tall). Her er \(k\) er et positivt heltall.

Vi claimer at vi kan velge uendelig \(n\) slik at \(p^k\leqslant an+b<(p+1)^k\) og \(n=px\) hvor \(x\) har bare primfaktorer mindre enn \(n\), og \(p\) er et primtall.
Hvis vi klarer dette, er vi ferdige siden \(\varphi\) kan ikke skape primfaktorer som er større. La \(x=\frac{(p+1)^{k-1}}{a ...

Vis at hvis \(3\mid \sigma(n^2+n+1)\) hvor \(n\) er et naturlig tall, så er det mulig å dele divisorene til \(n^2+n+1\) inn i \(3\) grupper hvor produktet av tallene i hver gruppe er lik.

Vi ser på delelighet som en delvis ordning av de \(n^2+1\) positive heltallene. Det vi vil finne er en chain på størrelse \(n+1\). Anta dette ikke finnes. Merk at av oppgaven vet vi at \(S\) sin største antichain er maks på størrelse \(n\). Dermed har vi av dilworths teorem at \(S\) skal kunne ...

La \(ABC\) være en spissvinklet trekant inskrevet i en sirkel \(\Gamma\). La \(A_1\) være foten fra \(A\) til \(BC\), og la \(B_1,C_1\) være føttene fra \(A_1\) til \(AB,AC\). La \(P\) være et punkt slik at \(AB_1PC_1\) har likt areal som \(\triangle ABC\). Er det mulig for \(P\) å ligge strengt ...

Essensielt vil vi regne ut \[\sum_{i=1}^{2n}\binom{2n}{i}^2\pmod 3\]
La \(m\) være antall \(1\leqslant k\leqslant 2n\) slik at \(3\nmid \binom{2n}{k}\). Merk at hvis \(3\nmid \binom{2n}{k}\), så blir \(\binom{2n}{k}^2\equiv 1 \pmod 3\). Dermed har vi \[\sum_{i=1}^{2n}\binom{2n}{i}^2\equiv m\pmod 3 ...

Ny oppgave:
Let $ABC$ be a triangle. Prove that there is a line $\ell$ (in the plane of triangle $ABC$) such that the intersection of the interior of triangle $ABC$ and the interior of its reflection $A'B'C'$ in $\ell$ has area more than $\frac23$ the area of triangle $ABC$.

Vi bruker cauchy schwarz, for å få følgene:
\[\left ( \frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{z^2-1}+\frac{1}{z^2-1} \right )\left (\frac{x-1}{x+1}+\frac{y-1}{y+1}+\frac{z-1}{z+1}\right ) \geqslant \left (\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right )^2\]
og siden \[ \frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{z^2-1}+\frac{1}{z^2 ...

Den store CCPenguin ga Lil_Flip38 tillatelse til å legge ut den neste oppgaven på dette forumet. lfe derimot, sliter med å logge inn på matematikk.net brukeren sin.
Problemet er at lfe sitt passord er ikke en streng av tegn, men istedenfor en familie av funksjoner! Nemlig er nøkkelen til å logge ...

Nei Nei Nei! CCPenguin og lfe forsov seg i Sorø og rakk ikke flyet til Australia! De har bare 1 løsning: Finne sopelimene sine og fly til Australia på dem. Problemet er at sopelimene er gjemt bak en oppgave! Hjelp CCPenguin og lfe ved å løse oppgaven.
Finnes det et par $ (f; g)$ som er strengt ...

Å nei! Forhåpentligvis klarer ørnen å ta kyllingene med hjelpen min.
Vi viser først en påstand: \[\frac{1}{1+a_1}+\frac{a_1}{(1+a_1)(1+a_2)}+\dots +\frac{a_1a_2\dots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2)\dots (1+a_n)}=1-\frac{a_1a_2\dots a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\dots (1+a_n)}\]
Vi viser dette via induksjon. for \(n=1 ...

Ny oppgave:
La \(H,T\) være ortosenteret og \(A\)-humpty punktet i en spissvinklet trekant \(ABC\). La \(AH,AT\) skjære \((ABC)\) igjen i punktene \(K,N\).
Vis at omsirkelen til trekanten som blir formet av linjene \(BC,HT,NK\) er tangent til \((ABC)\)

Vi bytter ut \(2011\) med et generelt oddetall \(n\), da er svaret \(\frac{5n-3}{2}\)

Under har jeg laget konstruksjon for \(n=7\):
:mrgreen: :mrgreen: :D :D :D :D :D
:mrgreen: :D :mrgreen: :D :D :D :D
:D :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :D :D :D
:D :D :mrgreen: :D :mrgreen: :D :D
:D :D :D ...

Ny ulikhet:
An acute triangle $ABC$ is given and $H$ and $O$ be its orthocenter and circumcenter respectively. Let $K$ be the midpoint of $AH$ and $\ell$ be a line through $O. $ Let $P$ and $Q$ be the projections of $B$ and $C$ on $\ell. $ Prove that$$KP+KQ\ge BC$$
(PS: Alle løsninger som innholder ...

Skriver bare en sketch av en løsning, sidne Ife er allergisk mot å faktisk skrive oppgaven riktig. I løsningen antar vi at en av \(d\) skal være \(b\).
Vi bruker først cauchy schwarz for å få:
\[\left ( 16ac+\frac{a}{c^2d}+\frac{16c}{a^2b}+\frac{4}{ac}\right ) \left ( bd +\frac{b}{256d^2c}+\frac{d ...