Den store CCPenguin ga Lil_Flip38 tillatelse til å legge ut den neste oppgaven på dette forumet. lfe derimot, sliter med å logge inn på matematikk.net brukeren sin.
Problemet er at lfe sitt passord er ikke en streng av tegn, men istedenfor en familie av funksjoner! Nemlig er nøkkelen til å logge ...

Nei Nei Nei! CCPenguin og lfe forsov seg i Sorø og rakk ikke flyet til Australia! De har bare 1 løsning: Finne sopelimene sine og fly til Australia på dem. Problemet er at sopelimene er gjemt bak en oppgave! Hjelp CCPenguin og lfe ved å løse oppgaven.
Finnes det et par $ (f; g)$ som er strengt ...

Å nei! Forhåpentligvis klarer ørnen å ta kyllingene med hjelpen min.
Vi viser først en påstand: \[\frac{1}{1+a_1}+\frac{a_1}{(1+a_1)(1+a_2)}+\dots +\frac{a_1a_2\dots a_{n-1}}{(1+a_1)(1+a_2)\dots (1+a_n)}=1-\frac{a_1a_2\dots a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\dots (1+a_n)}\]
Vi viser dette via induksjon. for \(n=1 ...

Ny oppgave:
La \(H,T\) være ortosenteret og \(A\)-humpty punktet i en spissvinklet trekant \(ABC\). La \(AH,AT\) skjære \((ABC)\) igjen i punktene \(K,N\).
Vis at omsirkelen til trekanten som blir formet av linjene \(BC,HT,NK\) er tangent til \((ABC)\)

Vi bytter ut \(2011\) med et generelt oddetall \(n\), da er svaret \(\frac{5n-3}{2}\)

Under har jeg laget konstruksjon for \(n=7\):
:mrgreen: :mrgreen: :D :D :D :D :D
:mrgreen: :D :mrgreen: :D :D :D :D
:D :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :D :D :D
:D :D :mrgreen: :D :mrgreen: :D :D
:D :D :D ...

Ny ulikhet:
An acute triangle $ABC$ is given and $H$ and $O$ be its orthocenter and circumcenter respectively. Let $K$ be the midpoint of $AH$ and $\ell$ be a line through $O. $ Let $P$ and $Q$ be the projections of $B$ and $C$ on $\ell. $ Prove that$$KP+KQ\ge BC$$
(PS: Alle løsninger som innholder ...

Skriver bare en sketch av en løsning, sidne Ife er allergisk mot å faktisk skrive oppgaven riktig. I løsningen antar vi at en av \(d\) skal være \(b\).
Vi bruker først cauchy schwarz for å få:
\[\left ( 16ac+\frac{a}{c^2d}+\frac{16c}{a^2b}+\frac{4}{ac}\right ) \left ( bd +\frac{b}{256d^2c}+\frac{d ...

Ny oppgave:
Let $ABC$ be a triangle with $\angle A\neq 90^\circ$ and orthocenter $H$. Let $M$ be the midpoint of $BC$.
Lines $BH$ and $CH$ intersect the circumcircles of triangles $ABM$ and $ACM$ again at points $K$ and $L$ respectively. Point $T$ is chosen so that $BHCT$ - parallelogram.
Prove that ...

Observer at \(n^2-5n+2\) er et partall for alle heltall \(n\).
La la koeffisientene til \(P,Q\) være \(a_i, b_i\).
Hvis vi nå ser på \(R(x)=P(x)-Q(x)\), følger det av at \(P,Q\) monisk at \(deg(R(x))\leq n^2-5n+1\). Samtidig vet vi at \(deg(R(x)\) må være partall,
siden hvis graden er odde vil \(R ...

Does there exist bijections $f,g$ from positive integers to themselves st:
$$g(n)=\frac{f(1)+f(2)+ \cdot \cdot \cdot +f(n)}{n}$$
holds for any $n$?

Siden vi har at \(deg(P)>1\) så har vi at \(P(x)\geqslant cx^2\) for en eller annen konstant \(c\) for stor nok \(x\).
Da har vi følgene:
\[\sum_{i=1}^{k}P(n+i)\geqslant c\sum_{i=1}^{k}(n+i)^2=c(\sum_{i=1}^{k}n^2+\sum_{i=1}^{k}2ni+\sum_{i=1}^{k}i^2)=c(kn^2+nk(k+1)+\frac{k(k+1)(2k+1)}{6})\]
Herifra ...

Ny oppgave
LIl_flip har en funksjon $f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ slik at for alle heltall tall $a, b>0$ så holder følgene:
\[a + b \mid a^{f(a)} + b^{f(b)} \]
lfe har lyst til å finne ut av hvilke slike funksjoner Lil_flip kan ha. Problemet er at lfe er dårlig i tallteori, så hjelp lfe med ...

\((a,b)=(1,1), (1,2),(2,1)\) er det eneste som funker.
Observer at det tredje punktet impliserer at \(k^2\leqslant b<a<(k+1)^2\) og \(a\neq b\) siden åpenbart \(gcd(a,b)=1\). I tillegg har vi at
\[ab\mid (a-b)^4+1\]
som følger av å observere at alle deler i utvidelsen enten er deilig på \(ab ...

Ny oppgave
Let triangle $ABC$ be inscribed in the circumcircle $(O)$ and circumscribed about the incircle $(I)$, with $AB < AC$. The incircle $(I)$ touches the sides $BC$, $CA$, and $AB$ at $D$, $E$, and $F$, respectively. The line $AI$ cuts segments $DF$ and $DE$ at $K$ and $L$, respectively, and ...

Den eneste følgen som oppfyller kravet er \(a_i=i\) for alle \(i\). Vi viser først at følgen er strengt stigende.
Anta for motstigelse at \(a_i=a_{i+1}\) for en eller annen \(i\). Da har vi av å bytte \(i,i+1\) ut av summen at høyre siden forblir lik. Da kan man velge \(x_1,x_2,\cdots ,x_{k-1}\) til ...