nytt problem: For what positive integers $n$ does there exist an integer $k\geq 2$ such that $$nab \mid (a+b)^k-a^k-b^k$$ for all positive integers $a$ and $b$?

Svaret er alle tall som er på formen \(a^p\) for et positivt heltall \(a\), kall slike tall p-potenser. Det er åpenbart at dette funker, ved å observere at \(\lfloor \sqrt[p]{a_n}\rfloor ^p=a_n\) hvis det er et perfekt p-potens.
Vi ser på følgen, og legg merke til at
\[pa_n-(p-1)\lfloor \sqrt[p]{a ...

For each integer $n \geq 2$, let $F(n)$ denote the greatest prime factor of $n$. A strange pair is a pair of distinct primes $p$ and $q$ such that there is no integer $n \geq 2$ for which $F(n)F(n+1)=pq$.

Prove that there exist infinitely many strange pairs

svaret er \((n,k)=(n^2+1,1), (1,2)\).
Gjennom løsningen bruker vi 2 lemmaer:
Lemma 1:\(n!\mid \prod^{k}_{i=1}(n+i)\) som er sant av binomialkoeffisienter.
Lemma 2: Hvis \(p,q\) er odde primtall og \(p\equiv 3\pmod 4\) og \(-p\) er en kvadratisk rest \(\pmod q\), så er \(q\) en kvadratisk rest ...

]Let $n$ be a positive integer. There are $n$ ants walking along a line at constant nonzero speeds. Different ants need not walk at the same speed or walk in the same direction. Whenever two or more ants collide, all the ants involved in this collision instantly change directions. (Different ants ...

:mrgreen: :mrgreen: OiOiOi dette var en tøff en!
Påstand: En apekatt kan ikke ha mer enn \(15\) bananer.
Bevis: Anta de andre apekattene har minimal mulig bananer, og da har de andre apekattene minst \(1+2+\dots +9=45\) bananer, så den siste apekatten har maks \(15\) bananer.

Nå, legg merke til at ...

Each cell of an $m\times n$ board is filled with some nonnegative integer. Two numbers in the filling are said to be adjacent if their cells share a common side. (Note that two numbers in cells that share only a corner are not adjacent). The filling is called a garden if it satisfies the following ...

Først, anta at \(P\) er en likevinklet \(p\)-kant hvor \(p\) er et primtall. Vi viser at sidelengdene til \(P\) må være like. La \(s_0,s_2\dots ,s_{p-1}\) være sidelengdene til \(P\). Vi ser nå på ting i det komplekse planet. Når vi putter \(P\) i det komplekse planet har vi da \(z_0,z_2\dots z_{p-1 ...

Let $a_1$ be a positive integer and $a_n = \sum_{i=1}^{n-1} \gcd(n, a_i)$ for any $n\geq 2$. Prove that $a_{n+1} \leq a_n$ for infinitely many $n$.

Først, har vi et lemma: Hvis \(a,b\) er rasjonale tall, og \(ab, a+b\in \mathbb{Z}\) så er \(a,b\) heltall.
Bevis: Dette følger direkte av rasjonal rot teoremet på polynomet \((x-a)(x-b)\).
Nå, kan vi anta \(a_1=0\), siden vi kan endre hele følgen med en konstant. Vi antar også at \(a_i,b_i\) er ...

For hvilke positive heltall \(b>1\) finnes det uendelig positive heltall \(n\) slik at \(n^2\mid b^n+1\)?

Vi løser oppgaven for alle \(d>2\), og det impliserer oppgaven siden \(2<59\). Vi ser på \(2^{2^i}+d\) som en følge.
Av kobayashi (eller et lett argument) får vi at vi bare trenger å tenke på tilfellet hvor uendelig mange primtall deler \(2^{2^a}+d\), la disse primtallene være i mengden \(P\). Anta ...

Let triangle \(ABC\) (\(AB < AC\)). A circle \((O)\) passes through \(B\) and \(C\), and it intersects \(AC\) and \(AB\) at \(E\) and \(F\), respectively. Let \(H\) be the intersection of \(BE\) and \(CF\). Points \(P\) and \(Q\) are the intersections of the circumcircles \((OFE)\) and \((BHC ...

Svar: vi kan gå til alle punker \((x,y)\) hvor \(\gcd(x,y)=1\).
Vi starter med å bruke skolisse formelen, som gir at en trekant med et hjørne i origo må oppfylle \(|x_1y_2-x_2y_1|=1\) hvor \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) er de andre 2 hjørnene.
Dermed er det åpenbart at hvis \(\gcd(x,y)>1\) så kan ikke det ...

Given $\triangle ABC$, whose all sides have different length. Point $P$ is chosen on altitude $AD$. Lines $BP$ and $CP$ intersect lines $AC, AB$ respectively and point $X, Y$.It is given that $AX=AY$. Prove that there is circle, whose centre lies on $BC$ and is tangent to sides $AC$ and $AB$ at ...