Let $ ABC$ be a triangle with $ \angle A < 60^\circ$. Let $ X$ and $ Y$ be the points on the sides $ AB$ and $ AC$, respectively, such that $ CA + AX = CB + BX$ and $ BA + AY = BC + CY$ . Let $ P$ be the point in the plane such that the lines $ PX$ and $ PY$ are perpendicular to $ AB$ and $ AC ...

La $R$ være skjæringene av diagonalen i kvadratet. Også lar vi $Æ,Ø$ være skjæringene av $SE,TF$ med $BC$. Nå har vi av pascal at $C,E,F,P,B,R$ ligger på et kjeglesnitt, som impliserer at $R$ ligger på sirkelen med diameter $BC$. Av pascal igjen får vi $Æ,H,T$ ligger på linje. På lik måte får vi $Ø ...

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral inscribed in circle $\omega$ whose diagonals meet at $F$. Lines $AB$ and $CD$ meet at $E$. Segment $EF$ intersects $\omega$ at $X$. Lines $BX$ and $CD$ meet at $M$, and lines $CX$ and $AB$ meet at $N$. Prove that $MN$ and $BC$ concur with the tangent to $\omega ...

La \(R=AP\cap BC\). Av ceva ser vi at \(R\) er midtpunktet på \(BC\).
Påstand: \(N=(BPR)\cap (ACR)\).
Vi viser at \(N\) ligger på begge sirklene:
\[\measuredangle NBC=\measuredangle NEA=\measuredangle NPA\implies N\in (BPR) \]
\[\measuredangle NRA=\measuredangle NBE =\measuredangle NCA\implies N\in ...

La \(a_0,a_1,a_2\dots \) være definert rekursivt slik at \(a_0\) er ikke en \(2\)-er potens, og for alle ikkenegative heltall \(n\) har vi hvis \(a_n\) er partall, så er \(a_{n+1}\) den største odde faktoren til \(a_n\). Hvis \(a_n\) er odde, så er \(a_{n+1}=a_n+p^2\) hvor \(p\) er minste primfaktor ...

\((a,b,n)=(3,5,3),(5,3,3),(1,1,n)\) hvor \(n\geq 2\) er de eneste løsningene. Først ser vi at hvis \(2\mid a\) eller \(2\mid b\) får vi motstigelse umiddelbart, siden hvis \(v_2(a)\le v_2(b)\) vil \(v_2(a^n+b)=v_2(b)\) som er en motstigelse. Dermed får vi \(\gcd(a,b)=1\). Hvis \(a\) eller \(b\) er ...

Ny oppgave:
La \(ABC\) være en spissvinklet trekant. \(\) la \(H\) være orthosenter, og la \(BH\cap AC=E\) og \(CH\cap AB = F\). La høyden fra \(A\) til \(EF\) skjære \(BC\) i \(R\). La \(D\) være foten fra \(A\) til \(BC\). La sirkelen med diameter \(AD\) skjære \(AB,AC\) i \(M,N\). La tangentene i ...

:mrgreen: (Teorem) La $(ABD)$ møter $AC$ og $AF$ i $C^{\prime}$ og $F^{\prime}$.Da har vi $\text{Evil}^{\triangle{ABC}}_{F, B}(D) = BC^{\prime} \cap D F^{\prime}$. Dette er velkjent. Nå, av symmetri, er det tilstrekkelig å vise at $D$, $\text{Evil}^{\triangle{BAC}}_{F,A}(D)$, $\text{Evil}^{\triangle ...

Let $k$ be a positive integer. lfe has a dictionary $\mathbb{D}$ consisting of some $k$-letter strings containing only the letters $A$ and $B$. lfe would like to write either the letter $A$ or the letter $B$ in each cell of a $k \times k$ grid so that each column contains a string from $\mathbb{D ...

Svaret er \(\frac{2027-3}{4}+1=507\). Åpenbart må hver farge ha minst \(3\) punkter.
Definer \(m(X)\) og \(M(X)\) som den det nærmeste og punktet som er lengst unna \(X\).
Påstand: maks 1 farge kan ha kun 3 punkter.
Anta vi har trekant \(ABC\) hvor WLOG \(BC<AB<AC\). Da vet vi at \(m(B)=C\), \(m(C ...

Finn alle positive heltall \(n\), slik at hvis \(d\) er en positiv divisor av \(n\), så har vi \[d^2+d+1\mid n^2+n+1\]

Ved hjelp av karakteristisk likning og litt algebraisk manupilasjon får vi
\[
a_n = \frac{(2+\sqrt{3})^{\,2n-3} + (2-\sqrt{3})^{\,2n-3}}{4}
\]Videre er det velkjent at Pell's likningen \(x^2-3y^2=1\) har generell løsning for \[x= \frac{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n}{2}\]Dermed ser vi at \(2a_n ...

The equilateral triangle \(\triangle\) is partitioned into n smaller equilateral triangles with side lengths \(a_1, a_2, . . . ,
a_n\). (The smaller equilateral triangles have sides parallel to those of \(\triangle\).) Prove that there
exist \(\epsilon_1,\epsilon_2\dots ,\epsilon_n ∈ \){\(−1, 1 ...

Svaret er \(n-\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2}\rceil\)
La hvert element i \(S\) være på formen \(2^{a_i}3^{b_i}m_i\) hvor \(\gcd(m,6)=1\).

Påstand: Vi kan anta at alle tallene i \(S\) er på formen \(2^a3^b\).
Bevis: Anta at vi har mer enn \(1\) verdi som \(m_i\) kan være. For hver verdi av \(m_i ...

Let $ABC$ be a triangle. Consider the points $D,E,F$ as the feet of the altitudes from $A,B,C,$ respectively, and $H$ its orthocenter which we suppose is the midpoint of $CF$. Let $M$ be the midpoint of $BC$, $N$ be the midpoint of $BE$, and $X=(AN)\cap(MF).$ \\ Prove that $\angle HXM=90^\circ$.