Ny oppgave
LIl_flip har en funksjon $f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ slik at for alle heltall tall $a, b>0$ så holder følgene:
\[a + b \mid a^{f(a)} + b^{f(b)} \]
lfe har lyst til å finne ut av hvilke slike funksjoner Lil_flip kan ha. Problemet er at lfe er dårlig i tallteori, så hjelp lfe med ...

\((a,b)=(1,1), (1,2),(2,1)\) er det eneste som funker.
Observer at det tredje punktet impliserer at \(k^2\leqslant b<a<(k+1)^2\) og \(a\neq b\) siden åpenbart \(gcd(a,b)=1\). I tillegg har vi at
\[ab\mid (a-b)^4+1\]
som følger av å observere at alle deler i utvidelsen enten er deilig på \(ab ...

Ny oppgave
Let triangle $ABC$ be inscribed in the circumcircle $(O)$ and circumscribed about the incircle $(I)$, with $AB < AC$. The incircle $(I)$ touches the sides $BC$, $CA$, and $AB$ at $D$, $E$, and $F$, respectively. The line $AI$ cuts segments $DF$ and $DE$ at $K$ and $L$, respectively, and ...

Den eneste følgen som oppfyller kravet er \(a_i=i\) for alle \(i\). Vi viser først at følgen er strengt stigende.
Anta for motstigelse at \(a_i=a_{i+1}\) for en eller annen \(i\). Da har vi av å bytte \(i,i+1\) ut av summen at høyre siden forblir lik. Da kan man velge \(x_1,x_2,\cdots ,x_{k-1}\) til ...

In a contest, there are $m$ candidates and $n$ judges, where $n\geq 3$ is an odd integer. Each candidate is evaluated by each judge as either pass or fail. Suppose that each pair of judges agrees on at most $k$ candidates. Prove that \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}\].

Vi starter først med et lemma: I en trekant, så er lengden av medianen mindre en gjennomsnittet av lengden av de \(2\) sidene som går uti fra samme hjørne som medianen. Dette følger siden hvis vi reflekterer dette hjørnet over midpunktet, får vi et parallelogram og vi er ferdige via trekantulikheten ...

Ny lett ulikhet:
La \(a,b>1\) være heltall. Vis at følgene ulikhet holder:
\[\frac{1}{gcd(a,b-1)}+\frac{1}{gcd(a-1,b)}\geqslant \frac{2}{\sqrt{a+b-1}}\]

Først har vi følgene lemma som vi bruker. \(\frac{n+2}{k+2}<\frac{n+1}{k+1}\) hvis \(n\geqslant k\). Dette følger av utvidelse.
Vi viser oppgaven via induksjon, hvor base case er trivelt, siden \(a_1=\frac{1}{2}\).
Anta at alt til \(a_i\) er positivt for \(i=1,2,\cdots ,n\) Vi viser at \(a_{n+1 ...

Nytt problem for folket:
An integer $n > 1$ is called ${good}$ if there exists a permutation $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ of the numbers $1, 2, 3, \dots, n$, such that:
$(i)$ $a_i$ and $a_{i+1}$ have different parities for every $1 \leq i \leq n-1$;
$(ii)$ the sum $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ is a ...

Svaret er $n=2^k$ og $n=p$ hvor $p$ er et primtall. Først ser vi at $a_i$ må enten være synkende eller økende, siden ellers vil den bytte tegn midt i, som er en motsigelse. Så vi antar at $a_1=1$
Anta nå $n$ er odde. Da har vi at alle differanser må være $1$, siden $2,1$ er begge med, som betyr at ...

Ny oppgave:
Let $S$ be a set of integers with the following properties:

$\{ 1, 2, \dots, 2025 \} \subseteq S$.
If $a, b \in S$ and $\gcd(a, b) = 1$, then $ab \in S$.
If for some $s \in S$, $s + 1$ is composite, then all positive divisors of $s + 1$ are in $S$.

Prove that $S$ contains all ...

0

La \(x_1,x_2.....\) være en følge av positive heltall slik at for alle par av positive heltall \((m,n)\), \(x_{mn}\neq x_{m(n+1)}\). Vis at det eksisterer en \(i\) slik at \(x_i>2025\).

Vi viser en sterkere påstand, nemlig at det er uendelig mange \(n\in\mathbb{N}\) slik at \(n^2+1\) har en divisor \(d\) slik at \(d(d+n)=n^2+1\). Hvis vi ser på dette som en andregrads likning med hensyn til \(d\), har vi at \(d^2+dn-n^2-1=0\). Vi vil finne uendelig mange \(n\) slik at dette har en ...

Finn alle \(n\) slik at det eksisterer en permutasjon \(a_1,a_2,......,a_n\) av \(1,2,3,4,.....,n\) slik at følgene holder:
\[\sum_{i=1}^{n}a_i(-2)^{i-1}=0\]