Search found 72 matches

by CCPenguin
04/07-2025 20:10
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Find all polynomials $f$ with real coefficients such that for all reals $a,b,c$ such that $ab+bc+ca = 0$ we have the following relations

\[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]
by CCPenguin
04/07-2025 20:09
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Jeg skal knuse IFEs drømmer om matematikk net passored ved å stjele familien av funksjoner.
Først anta f(a)=f(b), der a^2 ikke er lik b^2
P(a,y):
f(a^2-y)=f(f(a))-f(y)-2yf(a)= f(b^2-y)
Det følger at f er periodisk.
Dermed vil
P(x,y+p) føre til en motsigelse med mindre f(x)=0 for alle x.
P(x,f(y ...
by CCPenguin
04/07-2025 19:28
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Observer at Omsirkelen til (APQ) er AH. Hvis vi reflekterer H_{APQ} over midtpunktet på PQ vil det ende opp på H.
Dermed har vi at om midtpunktet på PQ ligger på N_9 , følger oppgaven av en homoteti i H.

Av 3 tangents lemma har vi at tangentene i fotpunktene til B og C (E,F) til (AH) skjærer i M ...
by CCPenguin
02/07-2025 21:02
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

Ife drakk for mye alkohol en uheldig fredag, og skrev opp mange rare symboler på tavlen. Dagen etter våknet han opp, men hadde visket ut løsningen i søvne. Hjelp Ife å finne løsningnen på oppgaven

Let $a,b,c,d$ be four non-negative numbers satisfying\[ a+b+c+d=1. \]Prove the inequality\[ a \cdot b ...
by CCPenguin
02/07-2025 20:57
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

Vi løser oppgaven.
Observer at ved å plugge inn [tex]g(g(n))[/tex] induktivt får vi at [tex]f(g^{2n}(k)) < g^n (f(k)) [/tex]
lar vi nå [tex]n = f(1), k=1[/tex] ser vi
[tex]g^{f(1)}(f(1)) \leq f(g^{f(1)}(f(1))) \leq f(g^{f(1)}(g^{f(1)}(1))) < g^{f(1)} (f(1)) [/tex]
En motsigelse
by CCPenguin
30/06-2025 21:07
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

Ny oppgave:
Ørnen er på jakt, og trenger at du løser denne oppgaven før kyllingene løper vekk.
Let $ a_1, a_2,\ldots, a_n$ be non-negative real numbers. Prove that
$\frac{1}{1+ a_1}+\frac{ a_1}{(1+ a_1)(1+ a_2)}+\frac{ a_1 a_2}{(1+ a_1)(1+ a_2)(1+ a_3)}+$ $\cdots+\frac{ a_1 a_2\cdots a_{n-1}}{(1+ a ...
by CCPenguin
30/06-2025 21:02
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

Løst med en del veiledning.
Observer først at det er mulig for n=16, ved å la alle degreesa være 5.
Denne kan konstrueres ved å først legge til nederse node, så legge til 5 over koblet til den.
Deretter lage en node med edge til hvert utvalg av de 2 nodene over. Så koble sammen alle noder over som ...
by CCPenguin
30/06-2025 14:43
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Kombomaraton
Replies: 18
Views: 69204

Re: Kombomaraton

In a mathematical challenge, positive real numbers $a_{1}\geq a_{2} \geq ... \geq a_{n}$ and an initial sequence of positive real numbers $(b_{1}, b_{2},...,b_{n+1})$ are given to Secco. Let $C$ a non-negative real number. In a sequence $(x_{1},x_{2},...,x_{n+1})$, consider the following operation ...
by CCPenguin
30/06-2025 14:38
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Kombomaraton
Replies: 18
Views: 69204

Re: Kombomaraton

Observer at mengden plan R = {x+y+z-n=0 | n \in [1,3n]
Oppfyller kriteriene.
AFMS det går ann med 3n-1 plan, hver med ligning R_i | a_ix+b_i y +c_i z - k_i= 0
Observer at hver k_i er ikkenull av antagelsen om at planene ikke går igjennom (0,0,0).
Vi tar for oss produktet \prod_1^{3n} (a_i x+b_i y ...
by CCPenguin
23/06-2025 22:48
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Ny oppgave
Let $m,n\ge2$ be positive integers. On an $m\times n$ chessboard, some unit squares are occupied by rooks such that each rook attacked by odd number of other rooks. Determine the maximum number of rooks that can be placed on the chessboard.
by CCPenguin
23/06-2025 22:32
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Geomtri :evil:
La L være skjæringen av (BMA) og BH, og definer K respektivt for C. La D, E, F være føttene til høydene igjennom A,B,C.
Observer først at T er refleksjonen av H over BC, og dermed er punktet slik at AT er en diameter i (ABC)

Claim 1:
ALKH syklisk
Bevis:
Observer at
\measuredangle ...
by CCPenguin
12/06-2025 10:22
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Lil_Flip fikk akkut hjerneslag, og sykebilen er ikke innen rekkevidde. Løs oppgaven for å redde lil_flip
La P(x) være et polynom med grad n>1 og reelle koeffisienter.
Anta likningen P(P(P(x))) = P(x) har n^3 distinkte reelle røtter.
Vis at disse røttene kan splittes inn i to grupper med likt ...
by CCPenguin
12/06-2025 10:19
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Den var visst for velkjent så poster løsning og ny oppgave:

La a = \frac{u}{v}
Claim 1:
f(\frac{a}{b}) \geq af(\frac{1}{b})
Dette følger ved å bruke superadditivitet.

Claim (2) f(x)>0.
Bevis: åpenbart kanke f(x) = 0, siden da vil 0 = f(x)f(a/x) > f(a).
Observer nå at hvis vi lar B^+ være alle b ...
by CCPenguin
11/06-2025 14:20
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Denne er ennå ikke gjort, på tide at noen gjør den.
Finn alle funksjoner [tex]f : \mathbb{Q}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] som tilfredstiller
(1) [tex]f(x)f(y) \geq f(xy)[/tex]
(2) [tex]f(x+y) \geq f(x)+f(y)[/tex]
og at det finnes en rasjonell a>1 slik at
f(a) = a.
by CCPenguin
11/06-2025 14:16
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Vi viser at polynomet
P(z) = \frac{1}{2} \pm io \frac{\sqrt(3)}{2} +z^n for n>0 er de eneste polynomene som går.
La Q(z) = P(z)-1 , og anta alle røttene har modulus 1. La r_i, q_i, 1\leq i \leq n betegne røttene til P og Q respektivt.
Claim 1:
\prod_1^n r_i = \frac{1}{2} + \epsilon i\frac{\sqrt{3 ...