tre løsninger: 1: f(x) = 1 2: f(x) = x+1 3: f(x) = (x+1) mod 2 Vi finner først f(0), så f(-1), så f(1) P(0,0): f(0)+f(0) = f(0)^2+1 f(0) = 1 Videre finner vi f(-1). P(-1,1): f(0) +f(-1) = f(-1)f(1) +1 f(-1)=f(-1)f(1), så f(1) = 1 eller f(-1) = 0. Anta f(1) = 1 P(x,1): f(x+1)+f(x)=f(x)+ 1 f(x+1) = 1,...

Do there exist a bounded function[tex] $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $f(1)>0$ and $f(x)$ satisfies an inequality $f^2(x+y)\ge f^2(x)+2f(xy)+f^2(y)$?[/tex]

Vi bruker skjæringssetning. Observer at siden floor x er konstant mellom to heltall, er den deriverte til differansen 3x^2-2floor(x)x>0, så den er strengt voksende. Videre er (x+1)^3 > x(x^2+1), og x^3 < x(x^2+1) så det finnes nøyaktig en løsning. setter vi x = a/b og antar løsningen er rasjonal få ...

Ny oppgave: A set $A$ is endowed with a binary operation $*$ satisfying the following four conditions: (1) If $a, b, c$ are elements of $A$, then $a * (b * c) = (a * b) * c$ , (2) If $a, b, c$ are elements of $A$ such that $a * c = b *c$, then $a = b$ , (3) There exists an element $e$ of $A$ such th...

Løsninger: f(x)=0,-x,x Åpenbart funker de Først, anta det finnes k slik at f(k)=0 P(k,y/k): yf(y)=k^2 f(y) Som impliserer f(y)= 0 for alle y eller k=0. Anta k=0 er det eneste nullpunktet P(x,1) f(x)f(f(x))+f(x)=xf(x)+f(x) Vi vet f(x)!=0 for x!=0, som gir f(f(x))=x Så f er en involusjon La k slik at ...

Ny oppgave:
finn alle par (a,b) av positive heltall slik at:
[tex] 1: gcd(a,b) = 1[/tex]
og
[tex]2: \frac{a}{b} = \overline{b.a}[/tex]

For (13,92) er da f.eks [tex]\overline{13.92} = 13.92[/tex]

Vel nå har det seg slik at noen andre postet oppgaven kanskje, og jeg hadde ikke løst den selv så: Vi viser at det ikke finnes noen løsning Vi faktoriserer først utrykket for å få noe mer nice. WLOG anta Observer at ligningen er ekvivalent med at: p^3+1=pq^3+q^3 (p+1)(p^2-p+1) = (p+1)q^3 p^2-p+1=q^3...

N

Løs i primtall p,q:
[tex]p^3 -q^3 = p q^3 -1[/tex]

Svar:
Alle s går.
for en gitt s, la [tex](a,b,c,d) = (s,0,0,0)[/tex]
Da får vi at:
[tex]s | 0*0*a+0*0*a+0*0*a+0*0*0 = 0[/tex]
Siden alt deler null, går dette helt fint ann.

Ny oppgave:
Løs følgende ligningssystem:
[tex]a-\sqrt{1-b^2} +\sqrt{1-c^2}=d[/tex]
[tex]b-\sqrt{1-c^2} +\sqrt{1-d^2}=a[/tex]
[tex]c-\sqrt{1-d^2} +\sqrt{1-a^2}=b[/tex]
[tex]d-\sqrt{1-a^2} +\sqrt{1-b^2}=c[/tex]
Der alle kvadratrøtter er ikkenegative

50% Observer at en person alltid setter seg på sitt sete om de kan. Dermed er det umulig at det er et sete annet en 1 eller n på siste valget, siden denne hadde blitt tatt. Observer også at hver gang noen gjør et random valg, er det like sannsynelig at de velger siste sete som første sete. Dermed er...

La [tex]f \in \mathbb{Z}[x][/tex] være et ikkekonstant polynom slik at [tex]f(1) \not = 1[/tex].
La [tex]divs(n)[/tex] være mengden av de positive divisorene til n
Et positivt heltall m kalles superdupert om det finnes n slik at [tex]f[divs(m)] =divs(n)[/tex]
Vis at for enhver slik f er det endelig mange superdupre tall

Først, et rektangel har et sideforhold m/n, der m og n er relativt primiske positive heltall.

Hver oppdeling i kvadrater må da ha at m deler antallet på m siden, og n deler antallet på n-siden
Begge disse må være 1 for at det skal være et primtall, hvis ikke vil n eller m dele antallet

Ny oppgave:
Finn alle funksjoner [tex]f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+[/tex]
Slik at:
[tex] f^{f^{f(n)}(n)}(n) = n[/tex]
For alle positive heltall [tex]n \in \mathbb{Z}^+[/tex]