](a) Show that the equation \[\lfloor x \rfloor (x^2 + 1) = x^3,\] where \(\lfloor x \rfloor\) denotes the largest integer not larger than \(x\), has exactly one real solution in each interval between consecutive positive integers. (b) Show that none of the positive real solutions of this equation i...

Løsning:
1. kvadrer
2. Forenkle
3. kvadrer
4. Forenkle
Her ender man opp med en andre grads likning: \(x^2-2x+1=0\)
5. løs likningen, og se at likhet holder for \(x=1\)

Vi viser først at tallet bare kan ende opp på et hjørne. La \(a_i\) være verdien på hjørne nr \( i\). Da påstår jeg at \(\sum ia_i \) er invariant (mod 5). Dette følger bare av å regne ut operasjonen, siden 2+3=5. nå er resten av oppgaven triviell, siden man kan bare løse liknings system hvis vi int...

Ny oppgave: Turbo the snail sits on a point on a circle with circumference $1$. Given an infinite sequence of positive real numbers $c_1, c_2, c_3, \dots$, Turbo successively crawls distances $c_1, c_2, c_3, \dots$ around the circle, each time choosing to crawl either clockwise or counterclockwise. ...

Del 1: Bnotøy vinner Del 2: Andreas vinner For del 1 av oppgaven, tenk deg at brikkene til Andreas er tårn fra sjakk. Bnotøy vinner fordi han kan alltid plassere brikkene sine i skjæringen av radene og kolonnene som blir truet av tårnene. Da er det åpenbart. For del 2, starter vi med et lemma: Hvis ...

Ny oppgave:
La $\mathcal{P}\{S\}$ være mengden av alle delmengder av en mengde $S$
La $f: \mathcal{P}\{S\} \rightarrow \mathcal{P}\{S\}$ være en økende funksjon. Det vil si at
$x\subseteq y \Rightarrow f(x) \subseteq f(y)$ vis at det eksisterer $T \in \mathcal{P}\{S\}$ slik at $f(T)=T$

Jeg gjør antagelsen at det skal være HELTALLIGE fikspunkter. Anta $Q$ har mer enn $n$ fikspunkter. La $n+1$ av disse være $a_0,....,a_n$ Påstand 1: $|P(a_i)-P(a_j)|=|a_i-a_j|$ Vi ser at $a_i-a_j|P(a_i)-P(a_j)|Q(a_i)-Q(a_j)=a_i-a_j$. Siden $Q$ er et polynom i $P$ Påstand 2: $P(a_i)-P(a_j)=a_i-a_j$ el...

Let $\mathbb N$ denote the set of positive integers. A function $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ has the property that for all positive integers $m$ and $n$, exactly one of the $f(n)$ numbers \[f(m+1),f(m+2),\ldots,f(m+f(n))\] is divisible by $n$. Prove that $f(n)=n$ for infinitely many positive integ...

Det er mulig at de ikke er symmetriske om aksene eller sentrum. I $x,y$ planet la $O=(0,0), A=(2,0), B=(2,1), C=(0,2),D=(-1,2)$. Det er lett å se at trekantene $OAB$ og $OCD$ er kongruente. Vi regner ut likningen til det unike kjeglesnittet gjennom disse 5 punktene som har formen: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+...

Ny oppgave: kan være litt tøft til tider. Definitivt ikke G6 på shortlist. La ABC være en spissvinklet trekant med omsirkel \omega . En sirkel \Omega er tangent til \omega i A og BC i D . La AB, AC skjære \Omega i P,Q . La M,N være refleksjonene av $D$ over B,C . Linjene MP,NQ skjærer i K og skjærer...

Svar: $4N, 2N^2+2N+1$ Vi viser først minimum. Hvis vi roterer flisene slik at stiene blir linjer parallel med diagonalen, ser vi lett at det er $4N$ stier. Observer at det er $8N$ punkter på kanten som må alle være med i en sti, og en sti inneholder maks $2$ punkter på kanten. Dette impliserer at de...

I trekant $ABC$, punktene $D,E$ ligger på sidene $AB, AC$. Punktene $F, L$ ligger på segmentene $BE, CD$ sli at $BC \parallel FL$. La $I$være et punkt på linja $LE$ slik at $E$ ligger mellom $F,I$, og $\angle ABC=\angle FIA$. På lik måte la $P$ være punktet på $DF$ slik at $D$ligger mellom $L,P$ og ...

Denne løsningen kommer til å inneholde minimal utregning og er essensielt bare en sketch av en løsning. Utregningen er en øvelse for leseren. Svaret er $f(n)=n+1$ Påstand 1: $f$ er injektiv. La $P(x,y)$ være plugge inn greia. Bevis: anta $f(a)=f(b)$. Da ser vi at $P(a,b)-P(b,b)$ gir $a=b$. Påstand 2...

La $ABC$ være en spissvinklet trekant med omsirkel
$\omega$ og La $H$ og $G$ være ortosenteret og tyngdepunktet. La $AH$ og $AG$ skjære $BC$ i $D,M$. La stråler $MH$ og $DG$ skjære $\omega$ i $P,Q$. Show that $PD\cap QM$ lies on $\omega$

Vi starter med å vise at det vi vil vise er det samme som $a_n=<0.5=<b_n$. Vi vet at akkurat en av $a_n-a_{n-1}$ og $b_n-b_{n-1}$ er negativ, som gir at $a_n=<0.5=<b_n$, siden det er lett å vise at $a_i$ ikke blir større enn $b_i$ så lenge $a_i$ og $b_i$ er på samme side av 1/2. Da kan vi anta at $1...