Search found 152 matches

by lfe
05/07-2025 17:45
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

La $x,y,z\geq 1$ være reelle tall slik at
\[
\frac{1}{x^2-1} +\frac{1}{y^2-1} +\frac{1}{z^2-1} =1
\]
Vis følgende ulikhet:
\[
\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq 1
\]
by lfe
05/07-2025 17:37
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

Selv om lfe er bakfull, så klarer han å utføre Lagranges multiplikatormetode :mrgreen: :mrgreen: .
La $f(a,b,c,d)=\frac{176}{27}abcd-abc-bcd-cda-dab$ og $g(a,b,c,d)=a+b+c+d$. Vi ønsker å minimere $f$ under betingelsen $g(a,b,c,d)=1$.
Først ser vi på grensetilfellene der $a=0$ eller $a=1$. I begge ...
by lfe
26/06-2025 19:13
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

La $ABC$ være en trekant med ortosenter $H$. La $M$ være midtpunktet på $BC$. La $P$ og $Q$ være to ulike punkter på sirkelen $(AH)$ slik at $M$ ligger på $PQ$. Vis at ortosenteret til $APQ$ ligger på $(ABC)$.
by lfe
26/06-2025 18:44
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

La $Q$ være $A$-køpunktet. La $HT\cap BC=X$, $KN\cap HT = Y$ og $KN\cap BC=Z$. La $A'$ være refleksjonen av $A$ over midtnormalen til $BC$.

$\textbf{Påstand: }$ $BC\cap AQ = X$
$\textit{Bevis. }$ Det er velkjent at $(AQHT)$. La $W$ være refleksjonen av $A$ over $M$. Det følger av rette vinkler at ...
by lfe
25/06-2025 23:44
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

lil_flip og ccccpenguin er på fest med elever fra oslo rompeldunk gymnasium. Elevene ved denne skolen er litt spenstige så de danner spesiele sosiale strukturer. Hvis to elever er venner, så har de ingen felles venner. Hvis to elever ikke er venner, så har de nøyaktig 2 venner til felles. La $n ...
by lfe
25/06-2025 23:35
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Ulikhetmaraton
Replies: 192
Views: 613607

Re: Ulikhetmaraton

Løsning uten koordinater: :oops: :oops:
La $O$ ligge i origo. La $A$, $B$ og $C$ være enhetsvektorer. La $u$ være en enhetsvektor parallell med $l$. La $M=\frac{A+B}{2}$. Vi har $H=A+B+C$, $K=A+M$, $P=(B\cdot u)u$ og $Q=(C\cdot u)u$. La $v$ være en enhetsvektor ortogonal på $u$. Fra nå skriver vi ...
by lfe
25/06-2025 19:19
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Ny oppgave:
Vi har et $2011\times 2011$ brett. Hva er det maksimale antall punkter vi kan velge i brettet slik at ingen av dem danner et likebent trapes, der de parallelle sidene er parallelle med kantene til brettet. (prallellogrammer er ikke likebente trapes, men rektangler telles)
by lfe
25/06-2025 19:16
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

UTAG anta $n \leq m$ og at $n$ er antall rader og $m$ er antall kolonner. For $n=1$ er svaret 1 eller 2 (lett å se). Vi deler videre oppgaven opp i $n=2$ og $n\geq 3$.
Først anta $n=2$. Da er svaret $2m-4$ konstruksjonen for dette er
OXXXXXX...XXXXO
XOXXXXX...XXXOX
, der X representerer et tårn ...
by lfe
19/06-2025 01:10
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Ny oppgave:
La $n$ være et positivt heltall. Finn antall heltallsløsninger av den diofantiske likningen $x^2+2016y^2=2017^n$.
by lfe
19/06-2025 01:00
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Svaret er nei.
$\textbf{Påstand: }$ $g(1)=f(1)=1$
$\textit{Bevis: }$ La $g(x)=1$ for $x\in \mathbb{N}$. La $S(n)=\sum_{i=1}^{n} f(i)$. Åpenbart er $S(n)\geq \frac{n(n+1)}{2}$. Det følger at $1=g(x)= \frac{S(x)}{x}\geq \frac{x+1}{2}$. Dermed må $x=1$ som betyr at $g(1)=f(1)=1$.


Videre har vi ...
by lfe
18/06-2025 00:11
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

La $P$ og $Q$ være to moniske polynomer av grad $n^2-5n+2$ for et positivt heltall $n>7$. Vis at dersom $P(x)-Q(x)$ ikke har noen reelle røtter, så har $P(x)-Q(x+1)$ minst én reell rot.
by lfe
18/06-2025 00:03
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Abel maraton
Replies: 262
Views: 1044538

Re: Abel maraton

Dette er sterkere imosl 2013 A2.
Vi kan pga. skalering og forskyvning UTAG anta at $S$ består av $1=x_1<\dots <x_{2000} = 2$. La $N=\binom{2000}{2}$. La differansene mellom elementene i $S$ være $0<d_1<\dots <d_N=1$. La $x_m = \log_2 (d_m)$. Vi har $0<x_1<\dots < x_N = 1$. La $x_{k+1}-x_k$ være ...
by lfe
17/06-2025 23:01
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Ny oppgave:
La $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, der $\deg P >1$. Vis at det er uendelig mange positive heltall som ikke kan bli skrevet på formen
\[
\sum_{i=1}^k P(n+i)
\]
for positive heltall $n$ og $k$.
by lfe
17/06-2025 22:07
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Algebramaraton
Replies: 30
Views: 83476

Re: Algebramaraton

Oi, jeg håper jeg ikke er for sen til å redde lille flipp.
Vi ser først at $P(P(P(x)))-P(x)$ er et polynom av grad $n^3$. Det betyr at alle røttene til dette polynomet er reelle.
Vi ser at tallene $P(x)$ og $P(P(x))$ danner en sykel med lengde som deler 2 under $P$. Dermed er enten $P(P(x))=P(x)=y ...
by lfe
11/06-2025 01:37
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Topic: Tallteorimaraton
Replies: 67
Views: 166440

Re: Tallteorimaraton

Ny oppgave:
Gitt positive heltall $a$, $b$, $m$ og $k$, der $k>1$. Vis at det eksisterer uendelig mange positive heltall $n$ slik at $\gcd(\phi^m(n), \lfloor \sqrt[k]{an+b} \rfloor)=1$.