Ny oppgave:
Vis at det eksisterer uendelig mange \(n \in \mathbb{N}\) slik at \(n^2+1\) har en divisor \(d\) slik at \(d+n\mid n^2+1\).

Dette er forgårs EGMO 2025 P1. :shock: \(\textbf{Påstand:}\) Tallene som tilfredsstiller oppgaven er alle partall og potenser av 3. \(\textit{Bevis:}\) Først viser vi at disse tallen tilfredsstiller oppgaven. For partall \(N\) vil \(c_i\) være et oddetall for alle \(i\). Dermed er \(\gcd (N, c_i+c_{...

Gitt \(a\in \mathbb{N}\). Er \(\frac{p-1}{ord_p(a)}\) bundet over primtall \(p\)?

\(n^2+n+1\) ligger mellom to påfølgende kvadrattall: \(n^2\) og \((n+1)^2\). Med mindre \(n=0\). Dermed er det eneste svaret \(n=0\).

La \(a,b,c\in \mathbb{N}\). Gitt at \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\] er et heltall. Vis at \(abc\) er et kubikktall.

Tristan vinner. Han starter med fylle to ruter av samme kolonne. Videre kan Tristan alltid kontre Lil flip slik at han ender turen med to nye kolonner der bare to av rutene er fylt og de har begge en tom rute i samme rad. Når alle kolonnene er fylt slik er det nøyaktig 500 trekk igjen. Siden Lil fli...

Ny oppgave:
Finn alle \((n,k)\in \mathbb{N}^2\) som tilfredsstiller likningen
\[n!+n=n^k\]

Svar: For \(l=1\) har vi alle følger der \(a_i\geq i\). Dersom \(l\geq 2\) er den eneste løsningen \(a_i=i\). Åpenbart stemmer dette for \(l=1\). Vi antar derfor \(l\geq 2\). \(\textbf{Påstand 1:}\) \(a_i\geq i\) \(\textbf{Bevis:}\) La \(n_k=m\) for alle \(k\). Da har vi \(l\cdot m! \mid l\cdot a_m!...

Ny oppgave: La \(d(P, l)\) være avstanden mellom punktet \(P\) og linjen \(l\). La \(ABC\) være en trekant med omkrets \(L\) og areal \(S\). La \(P\) være et punkt slik at \(d(P,BC)=1\), \(d(P,AC)=\frac{3}{2}\) og \(d(P,AB)=2\). La \(D\), \(E\) og \(F\) være føttene til cevianene gjennom \(P\) henho...

Av symmetri holder det å vise \(\measuredangle QZY = \measuredangle XZP\). La \(K = AC\cap PZ\), \(L= XZ\cap CF\), \(M=AD\cap YZ\) og \(N=ZQ\cap DF\). Vi har av ortogonalitet mellom linjene at (KCZP) og (MDZN). Vinkeljakt: \( \begin{align} \measuredangle QZY &= \measuredangle NZM\\ &= \measu...

La \(ABC\) være en spissvinklet trekant med ortosenter \(H\). La \(P\) være et punkt på \(BC\) og la \(D\) være foten til \(H\) ned på \(AP\). La omsirklene til \(ABD\) og \(ADC\) henholdsvis være \(\omega_1\) og \(\omega_2\). En linje \(l\) er parallell med \(BC\) og går gjennom \(D\). \(l\) skjære...

La J' være refleksjonen av J over D. \(\textbf{Påstand:}\) (BGCJ'H) Vi har med en gang at \(\measuredangle HGB =\measuredangle BAH = \measuredangle HCB\) og dermed (BGCH). Videre har vi \( \begin{align} \measuredangle HJ'C &= \measuredangle HJ'J\\ &= \measuredangle IJC\\ &= \measuredangl...

La \(ABC\) være en spissvinklet trekant med innsenter \(I\) og omsenter \(O\). La \(D\), \(E\) og \(F\) være innberøringspunktene. La \(A'\) være refleksjonen av \(A\) over \(O\). Omsirklene til \(ABC\) og \(A'EF\) skjærer igjen i \(G\) og omsirklene til \(AMG\) og \(A'EF\) skjærer i \(H\neq G\), de...

\(\angle PIQ = 120^{\circ}\) Vi lar ABC være referansetrekanten i et barysentrisk koordinatsystem. Det er velkjent at \(D=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) og \(I=(a',b',c')=(\frac{a}{a+b+c}, \frac{b}{a+b+c}, \frac{c}{a+b+c})\). Fra oppgaven vet vi \(AD=b-c\). La \(R\) være fotpunktet til \(I\) på \(AD\...

Ny ulikhet:
La \(n\geq 2\) være et heltall og la \(a_1,a_2,...,a_n>1\) være reelle tall. Vis at
\[\prod_{i=1}^{n}\left ( a_{i}a_{i+1}-\frac{1}{a_{i}a_{i+1}} \right )\geq 2^n \prod_{i=1}^{n}\left (a_i -\frac{1}{a_i} \right ) \]
Her er \(a_{n+1}=a_1\).