Vi definerer følgen $\{ a_n\}_{n=1}^\infty$ rekursivt. La $a_1 = a_2 = 1$ og $a_{n+2} +a_n= 14a_{n+1}$ for $n\geq 1$. Vis at alle primtall $p$ som deler en av tallene i følgen er kongruent med $1$ modulo $12$,

Ny oppgave:
Tristan Amadeus ELSKER iskrem. Han har $x$ store beger han ønsker å ha iskrem i. La $y$ og $z$ være to positive heltall, der $y\geq 6$. Anta at
\[
x \leq 2^{yz} \cdot \left ( \sum_{i=0}^{z-1} \binom{yz}{i} \right ) ^{-1}
\]
Vis at dersom Tristan Amadeus har tilgang til $yz$ ulike smaker ...

Ny oppgave:
La $S$ være en mengde av $2027$ punkt i planet slik at avstandene mellom to punkter er innbyrdes ulike. Big unc XOR2004 elsker farger. Han skal farge hvert punkt i $S$ slik at for et punkt $P\in S$, er fargen til $P$ lik fargene til punktene i $S$ som ligger nærest $P$ og lengst vekke ...

La sidelengden til trekanen være $d$. Vi har da at arealet til trekanten er lik $\frac{\sqrt 3}{4} d^2 = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt 3}{4} a_i^2$. Det betyr at $d^2 =\sum_{i=1}^{n} a_i^2$. Videre er det som skal vises i oppgaven ekvivalent med
\[
\begin{align}
\left ( \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i a_i ...

Svaret er 0, 1, 3, 5 og 11.
Trekker vi 2 fra begge sidene av likheten, får vi
\[
\frac{q-p+1}{(p+1)q} = \frac{4}{n+2}
\]
Dette gir oss at $2\mid q-p+1$ som betyr at en av av $p$ eller $q$ er lik 2.
Først anta at $q=2$. Vi har da
\[
\frac{3-p}{2(p+1)}=\frac{4}{n+2}
\]
Siden høyresiden er større enn 0 ...

La $Q_A$ og $Q_B$ hhv. være A- og B-køpunktet. La $L $ være midtpunktet på $AC$. Det er velkjent at $MH$ skjærer $Q_A$ og at $LH$ skjærer $Q_B$. Her er $MH=LH$ av at $H$ er midtpunketet på $CF$, som betyr at $MH\parallel AB \parallel LH$. Videre impliserer dette også at $AQ_B$ og $BQ_A$ er diametere ...

Ny oppgave:
Vis at det er uendelig mange odde heltall $n$ slik at $n!+1$ er et sammensatt tall.

Ny oppgave:
Vis at for alle heltall $n$ eksisterer det en multippel av $n$ med $n$ ulike divisorer. Finn alle $n$ hvor denne multippelen er unik.

Ny oppgave:
Hvor mange ulike rettvinklede trekanter med heltallige sidelengder har areal som er $999$ ganger omkretsen? (Kongruente trekanter beregnes som like)

ALgebra :cry: :oops: :x
Likningene i oppgaven gir oss at $p=-6-\frac{s}{6}$, $q=11+s$, og $53-\frac{11s}{6}$.
Vi har da at \[
\begin{align}
f(9) + f(-5) &= 7186+604p+106q+4r+2s
&= 7186 +604\left ( -6-\frac{s}{6} \right ) + 106 (11+s) + 4\left ( 53 - \frac{11s}{6} \right ) + 2s\\
&= 7186+3624+1166 ...

$\textbf{Påstand:}$ $(ASKD)$
$\textit{Bevis.}$ Vi har $\measuredangle SAK = \measuredangle SDK$ av at $DS$ og $AK$ er vinkelhalveringslinjer.
$\square$

$\textbf{Påstand:}$ $(ATKC)$
$\textit{Bevis.}$ Vinkeljakt:
\[
\begin{align}
\measuredangle AKD &= \measuredangle AKD\\
&= \measuredangle ASD ...

Svaret er alle $n$, der $\gcd (n, \phi(n)) = 1$. Vi kaller $(n,k)$ kult dersom $nab\mid (a+b)^k -a^k-b^k$ for alle heltall $a$ og $b$.

$\textbf{Påstand 1:}$ Hvis $(n,k)$ er kult, så må $n\mid k$.
$\textit{Bevis.}$ La $a=n$ og $b=1$. Da har vi $0\equiv (n+1)^k-n^k-1 \equiv kn \pmod{n^2}$.
$\square ...

Finn det største positive reelle tallet $k$ slik at for alle positive reelle tall $z,æ,ø,å$ er følgende ulikhet sann:
\[
(æ+ø+å)(81(z+æ+ø+å)^5 + 16(2z+æ+ø+å)^5)\geq kz^3æøå
\]

Vi skriver om ulikheten i oppgaven til
\[
\sum_{cyc} \frac{b+c}{a}\sqrt{(a+b)(a+c)} \geq 4(a+b+c)
\]

AV CS på $\sqrt{(a+b)(a+c)}$ har vi $\frac{b+c}{a}\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \frac{b+c}{a}\sqrt{bc} + b+c$.
Det holder nå å vise
\[
\sum_{cyc} (b+c)bc\sqrt{bc} \geq 2abc(a+b+c)
\]

La $x=\sqrt a$, $y ...

Ny oppgave:
La $ABC$ være en trekant. $D$ er et punkt på $BC$. La $I_1$ og $I_2$ hhv. være innsentrene til $ABD$ og $ACD$. La $O_1$ og $O_2$ hhv. være omsentrene til $AI_1D$ og $AI_2D$. La $P=I_1O_2 \cap I_2O_1$. Vis $PD\perp BC$.