La $x,y,z\geq 1$ være reelle tall slik at
\[
\frac{1}{x^2-1} +\frac{1}{y^2-1} +\frac{1}{z^2-1} =1
\]
Vis følgende ulikhet:
\[
\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq 1
\]
Search found 152 matches
- 05/07-2025 17:45
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Ulikhetmaraton
- Replies: 192
- Views: 613607
- 05/07-2025 17:37
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Ulikhetmaraton
- Replies: 192
- Views: 613607
Re: Ulikhetmaraton
Selv om lfe er bakfull, så klarer han å utføre Lagranges multiplikatormetode :mrgreen: :mrgreen: .
La $f(a,b,c,d)=\frac{176}{27}abcd-abc-bcd-cda-dab$ og $g(a,b,c,d)=a+b+c+d$. Vi ønsker å minimere $f$ under betingelsen $g(a,b,c,d)=1$.
Først ser vi på grensetilfellene der $a=0$ eller $a=1$. I begge ...
La $f(a,b,c,d)=\frac{176}{27}abcd-abc-bcd-cda-dab$ og $g(a,b,c,d)=a+b+c+d$. Vi ønsker å minimere $f$ under betingelsen $g(a,b,c,d)=1$.
Først ser vi på grensetilfellene der $a=0$ eller $a=1$. I begge ...
- 26/06-2025 19:13
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Abel maraton
- Replies: 262
- Views: 1044538
Re: Abel maraton
La $ABC$ være en trekant med ortosenter $H$. La $M$ være midtpunktet på $BC$. La $P$ og $Q$ være to ulike punkter på sirkelen $(AH)$ slik at $M$ ligger på $PQ$. Vis at ortosenteret til $APQ$ ligger på $(ABC)$.
- 26/06-2025 18:44
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Abel maraton
- Replies: 262
- Views: 1044538
Re: Abel maraton
La $Q$ være $A$-køpunktet. La $HT\cap BC=X$, $KN\cap HT = Y$ og $KN\cap BC=Z$. La $A'$ være refleksjonen av $A$ over midtnormalen til $BC$.
$\textbf{Påstand: }$ $BC\cap AQ = X$
$\textit{Bevis. }$ Det er velkjent at $(AQHT)$. La $W$ være refleksjonen av $A$ over $M$. Det følger av rette vinkler at ...
$\textbf{Påstand: }$ $BC\cap AQ = X$
$\textit{Bevis. }$ Det er velkjent at $(AQHT)$. La $W$ være refleksjonen av $A$ over $M$. Det følger av rette vinkler at ...
- 25/06-2025 23:44
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Ulikhetmaraton
- Replies: 192
- Views: 613607
Re: Ulikhetmaraton
lil_flip og ccccpenguin er på fest med elever fra oslo rompeldunk gymnasium. Elevene ved denne skolen er litt spenstige så de danner spesiele sosiale strukturer. Hvis to elever er venner, så har de ingen felles venner. Hvis to elever ikke er venner, så har de nøyaktig 2 venner til felles. La $n ...
- 25/06-2025 23:35
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Ulikhetmaraton
- Replies: 192
- Views: 613607
Re: Ulikhetmaraton
Løsning uten koordinater: :oops: :oops:
La $O$ ligge i origo. La $A$, $B$ og $C$ være enhetsvektorer. La $u$ være en enhetsvektor parallell med $l$. La $M=\frac{A+B}{2}$. Vi har $H=A+B+C$, $K=A+M$, $P=(B\cdot u)u$ og $Q=(C\cdot u)u$. La $v$ være en enhetsvektor ortogonal på $u$. Fra nå skriver vi ...
La $O$ ligge i origo. La $A$, $B$ og $C$ være enhetsvektorer. La $u$ være en enhetsvektor parallell med $l$. La $M=\frac{A+B}{2}$. Vi har $H=A+B+C$, $K=A+M$, $P=(B\cdot u)u$ og $Q=(C\cdot u)u$. La $v$ være en enhetsvektor ortogonal på $u$. Fra nå skriver vi ...
- 25/06-2025 19:19
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Abel maraton
- Replies: 262
- Views: 1044538
Re: Abel maraton
Ny oppgave:
Vi har et $2011\times 2011$ brett. Hva er det maksimale antall punkter vi kan velge i brettet slik at ingen av dem danner et likebent trapes, der de parallelle sidene er parallelle med kantene til brettet. (prallellogrammer er ikke likebente trapes, men rektangler telles)
Vi har et $2011\times 2011$ brett. Hva er det maksimale antall punkter vi kan velge i brettet slik at ingen av dem danner et likebent trapes, der de parallelle sidene er parallelle med kantene til brettet. (prallellogrammer er ikke likebente trapes, men rektangler telles)
- 25/06-2025 19:16
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Abel maraton
- Replies: 262
- Views: 1044538
Re: Abel maraton
UTAG anta $n \leq m$ og at $n$ er antall rader og $m$ er antall kolonner. For $n=1$ er svaret 1 eller 2 (lett å se). Vi deler videre oppgaven opp i $n=2$ og $n\geq 3$.
Først anta $n=2$. Da er svaret $2m-4$ konstruksjonen for dette er
OXXXXXX...XXXXO
XOXXXXX...XXXOX
, der X representerer et tårn ...
Først anta $n=2$. Da er svaret $2m-4$ konstruksjonen for dette er
OXXXXXX...XXXXO
XOXXXXX...XXXOX
, der X representerer et tårn ...
- 19/06-2025 01:10
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Algebramaraton
- Replies: 30
- Views: 83476
Re: Algebramaraton
Ny oppgave:
La $n$ være et positivt heltall. Finn antall heltallsløsninger av den diofantiske likningen $x^2+2016y^2=2017^n$.
La $n$ være et positivt heltall. Finn antall heltallsløsninger av den diofantiske likningen $x^2+2016y^2=2017^n$.
- 19/06-2025 01:00
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Algebramaraton
- Replies: 30
- Views: 83476
Re: Algebramaraton
Svaret er nei.
$\textbf{Påstand: }$ $g(1)=f(1)=1$
$\textit{Bevis: }$ La $g(x)=1$ for $x\in \mathbb{N}$. La $S(n)=\sum_{i=1}^{n} f(i)$. Åpenbart er $S(n)\geq \frac{n(n+1)}{2}$. Det følger at $1=g(x)= \frac{S(x)}{x}\geq \frac{x+1}{2}$. Dermed må $x=1$ som betyr at $g(1)=f(1)=1$.
Videre har vi ...
$\textbf{Påstand: }$ $g(1)=f(1)=1$
$\textit{Bevis: }$ La $g(x)=1$ for $x\in \mathbb{N}$. La $S(n)=\sum_{i=1}^{n} f(i)$. Åpenbart er $S(n)\geq \frac{n(n+1)}{2}$. Det følger at $1=g(x)= \frac{S(x)}{x}\geq \frac{x+1}{2}$. Dermed må $x=1$ som betyr at $g(1)=f(1)=1$.
Videre har vi ...
- 18/06-2025 00:11
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Abel maraton
- Replies: 262
- Views: 1044538
Re: Abel maraton
La $P$ og $Q$ være to moniske polynomer av grad $n^2-5n+2$ for et positivt heltall $n>7$. Vis at dersom $P(x)-Q(x)$ ikke har noen reelle røtter, så har $P(x)-Q(x+1)$ minst én reell rot.
- 18/06-2025 00:03
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Abel maraton
- Replies: 262
- Views: 1044538
Re: Abel maraton
Dette er sterkere imosl 2013 A2.
Vi kan pga. skalering og forskyvning UTAG anta at $S$ består av $1=x_1<\dots <x_{2000} = 2$. La $N=\binom{2000}{2}$. La differansene mellom elementene i $S$ være $0<d_1<\dots <d_N=1$. La $x_m = \log_2 (d_m)$. Vi har $0<x_1<\dots < x_N = 1$. La $x_{k+1}-x_k$ være ...
Vi kan pga. skalering og forskyvning UTAG anta at $S$ består av $1=x_1<\dots <x_{2000} = 2$. La $N=\binom{2000}{2}$. La differansene mellom elementene i $S$ være $0<d_1<\dots <d_N=1$. La $x_m = \log_2 (d_m)$. Vi har $0<x_1<\dots < x_N = 1$. La $x_{k+1}-x_k$ være ...
- 17/06-2025 23:01
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Algebramaraton
- Replies: 30
- Views: 83476
Re: Algebramaraton
Ny oppgave:
La $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, der $\deg P >1$. Vis at det er uendelig mange positive heltall som ikke kan bli skrevet på formen
\[
\sum_{i=1}^k P(n+i)
\]
for positive heltall $n$ og $k$.
La $P(x)\in \mathbb{R}[x]$, der $\deg P >1$. Vis at det er uendelig mange positive heltall som ikke kan bli skrevet på formen
\[
\sum_{i=1}^k P(n+i)
\]
for positive heltall $n$ og $k$.
- 17/06-2025 22:07
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Algebramaraton
- Replies: 30
- Views: 83476
Re: Algebramaraton
Oi, jeg håper jeg ikke er for sen til å redde lille flipp.
Vi ser først at $P(P(P(x)))-P(x)$ er et polynom av grad $n^3$. Det betyr at alle røttene til dette polynomet er reelle.
Vi ser at tallene $P(x)$ og $P(P(x))$ danner en sykel med lengde som deler 2 under $P$. Dermed er enten $P(P(x))=P(x)=y ...
Vi ser først at $P(P(P(x)))-P(x)$ er et polynom av grad $n^3$. Det betyr at alle røttene til dette polynomet er reelle.
Vi ser at tallene $P(x)$ og $P(P(x))$ danner en sykel med lengde som deler 2 under $P$. Dermed er enten $P(P(x))=P(x)=y ...
- 11/06-2025 01:37
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Topic: Tallteorimaraton
- Replies: 67
- Views: 166440
Re: Tallteorimaraton
Ny oppgave:
Gitt positive heltall $a$, $b$, $m$ og $k$, der $k>1$. Vis at det eksisterer uendelig mange positive heltall $n$ slik at $\gcd(\phi^m(n), \lfloor \sqrt[k]{an+b} \rfloor)=1$.
Gitt positive heltall $a$, $b$, $m$ og $k$, der $k>1$. Vis at det eksisterer uendelig mange positive heltall $n$ slik at $\gcd(\phi^m(n), \lfloor \sqrt[k]{an+b} \rfloor)=1$.