La $P$ være et $n$-graders monisk polynom med koeffisienter i $\{0,1\}$. Den mørke og mysteriøse Nils vet hva $P$ er. Tristan Amadeus kan stille Nils spørsmål om $k$ er i mengden $\{P(m)| m\in \mathbb{Z}_+\}$. Ærlige Nils svarer så ja eller nei. Hva er det minste antallet spørsmål Tristan Amadeus må ...

Svaret er alle $n$ som er kongruent med 1 eller 3 modulo 8.

Først ser vi at $3^k$ er kongruent med 1 eller 3 modulo 8. Dermed er det nødvendig at $n\equiv1,3 \pmod 8$.
Videre har vi av LTE at $\nu_2 (3^k-1) = \nu_2 (2) + \nu_2 (4) + \nu_2 (k) - 1$. Det følger at ordenen til $3$ modulo $2^m$ er $2 ...

La $m$ og $n$ være odde positive heltall. Et $m\times n$ brett er fylt med dominobrikker slik at nøyaktig én rute ikke er dekket. Denne ruten befinner seg i hjørnet øverst til venstre. Vi kan skli vertikale brikker vertikalt og horisontale horisontalt slik at de dekker den tomme ruten. Dette vil ...

Vi har av ordner at alle primtall $p>3$ slik at $p\mid n^3-1$ er kongruente med 1 modulo 3 eller deler $n-1$. Siden $\gcd(n-1, n^2+n+1)\mid 3$, er alle primtallsdivisorer av $n^2+n+1$ over 3 kongruent med 1 modulo 3. Videre har vi at $3\mid \sigma(n^2+n+1)$ impliserer at $n^2+n+1$ har en ...

Med dominoer, s-tetrominoer og z-tetrominoer kan man dekke et $2008\times 2010$ rutenett uten at en rute dekkes av flere brikker. Hva er minste antall dominoer som må brukes i en slik dekning?

La $P = \prod_{i=1}^{n} (1+a_i)$. Da kan Secco nå sitt mål hviss $C< \frac{1}{P}$.

Vi viser først at $C<\frac{1}{P}$ er nødvendig.
La $\phi (x_1, \dots, x_{n+1}) = x_{n+1} + C\sum_{k=1}^n \left ( \prod_{i=1}^{k-1} (1+a_i) \right ) x_k$.
Hvis Secco gjør et trekk på $j < n+1$ med en permutasjon ...

Ny oppgave:
La $S$ være en mengde av $n^2+1$ positive heltall slik at for alle $X\subset S$, der $|X|=n+1$, eksisterer det $x\neq y$ i $X$ slik at $x\mid y$. Vis at det eksisterer en mengde $Y\subset S$ slik at $Y=\{x_1,\dots, x_{n+1} \}$ tilfredsstiller $x_i \mid x_{i+1}$ for $1\leq i \leq n$.

Nei, det er ikke mulig. La $A'$ være antipoden til $A$. Vi har at $(AB_1A_1C_1)$ tangerer $BC$ i $A_1$. Det betyr at $B_1C_1$ er antiparallell til $BC$ og er dermed parallell med tangent til $\Gamma$ i $A'$. Vi har derfor den øvre begrensningen $[AB_1PC_1]<[AB_1A'C_1] = R\cdot B_1C_1$ gitt at $P ...

Ny ulikhet:
La $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$ slik at $16(a+b+c)\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}$. Vis at
\[
\sum_{cyc} \left ( \frac{1}{a+b+\sqrt{2a+2c}} \right ) ^3 \leq \frac{8}{9}
\]

UTAG anta at $a\leq c\leq b$. Vi viser at $\ell$ lik vinkelhalveringslinjen tilfredsstiller ulikheten i oppgaven. La $D=\ell \cap BC$. Snittet av $ABC$ og $A'B'C'$ er lik firkanten $ABDB'$. Videre er arealene $[ABD]=[ADB']=\frac{c}{b+c}[ABC]$ av vinkelhalveringslinjesetningen. Det holder dermed å ...

La $S:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}$ være definert ved $S(P)=\sum_{i=0}^n a_i^2$, der $P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$. Vis at 3 ikke deler $S((x+1)^{2n})+1$

Svaret er alle polyonomer på formen $f(x)=px^4+qx^2$, der $p,q\in \mathbb{R}$.
Vi ser at dette er løsninger fordi $\sum_{cyc} (a-b)^4 - 2(a+b+c)^4=(ab+bc+ca)(-12a^2-12b^2-12c^2-6ab-6bc-6ca)=0$ og $\sum_{cyc} (a-b)^2 - 2(a+b+c)^2 = -6(ab+bc+ca)=0$.

$(a,b,c)=(0,0,0)$ impliserer at $f(0) = 0$. $(a,b,c ...

La $x,y,z\geq 1$ være reelle tall slik at
\[
\frac{1}{x^2-1} +\frac{1}{y^2-1} +\frac{1}{z^2-1} =1
\]
Vis følgende ulikhet:
\[
\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq 1
\]

Selv om lfe er bakfull, så klarer han å utføre Lagranges multiplikatormetode :mrgreen: :mrgreen: .
La $f(a,b,c,d)=\frac{176}{27}abcd-abc-bcd-cda-dab$ og $g(a,b,c,d)=a+b+c+d$. Vi ønsker å minimere $f$ under betingelsen $g(a,b,c,d)=1$.
Først ser vi på grensetilfellene der $a=0$ eller $a=1$. I begge ...

La $ABC$ være en trekant med ortosenter $H$. La $M$ være midtpunktet på $BC$. La $P$ og $Q$ være to ulike punkter på sirkelen $(AH)$ slik at $M$ ligger på $PQ$. Vis at ortosenteret til $APQ$ ligger på $(ABC)$.