Vi kaller en konveks mangekant for likevinklet dersom alle vinklene er like. La $P$ være en likevinklet $n$-kant med rasjonale sidelengder. Vis at $n$ er et primtall hvis og bare hvis $P$ må være likesidet.

$\textbf{Påstand:}$ $2\mid a_n$ for $n\geq 3$.
$\textit{Bevis.}$ Vi viser dette med induksjon. Induksjonsgrunnlaget deler vi inn i to tilfeller. Hvis $a_1$ er odde, så er $a_2=1$. Hvis $a_1$ er et partall, så er $a_2= 2$. I begge tilfeller er $a_3\equiv a_1 + a_2 \equiv 0 \pmod 3$. Anta nå at $a_i ...

Ny oppgave:
Finn alle positive heltall $n$ og $k$ slik at $\prod_{i=1}^k (n+i) -k$ er et kvadrattall.

Svaret er alle $b>2$.
Vi viser først at det går for alle $b>2$. La $p$ være et primtall som deler $b+1$. Av Zsigmondy eksisterer det et primtall $q\neq p$ som deler $b^p+1$. Av LTE følger det at $(pq)^2\mid b^{pq}+1$. Vi legger induktivt til flere primtallsfaktorer. Anta at $n^2\mid b^n+1$. Det ...

Ny oppgave:
La $\{a_n\}$ og $\{b_n\}$ være to ikke-konstante rasjonale følger slik at $(a_i-a_j)(b_i-b_j)$ er et heltall for allr $i$ og $j$. Vis at det eksisterer et rasjonalt tall $r$ slik at $r(a_i-a_j)$ og $\frac{b_i-b_j}{r}$ begger er heltall.

Vi bruker miquelinversjon. :mrgreen: :mrgreen: :D :D
La $BC\cap EF = D$. La $M$ være miquelpunktet til $BCEF$. La $EF$ skjære $(ABC)$ i $K$ og $L$, der $K$ er på samme side av $AO$ som $P$. La $\phi$ være miquelinversjon i $M$. Det er velkjent at $\phi(A)=D$, $\phi(B)=E$, $\phi(C)=F$ og $\phi(O)=H ...

Ny oppgave:
Nils er på punkt $(1,1)$ i planet. La origo være $O$. Nils kan hoppe mellom gitterpunkt så lenge følgende er oppfylt: hvis Nils hopper fra $A$ til $B$, så må arealet til trekant $AOB$ være $\frac{1}{2}$. Finn alle gitterpunkt med positive koordinater Nils kan hoppe til. Anta at Nils kan ...

$\textbf{Påstand}$ $(AYDX)$
$\textit{Bevis.}$ La $BC\cap XY=Q$ og $XY\cap AD = Z$. Vi har at $-1=(Q, D; B, C)=(Q,Z;X,Y)$. Siden $\angle QDA =90^\circ$, så må $AD$ være vinkelhalveringslinjen til $\angle XDY$. Det er to mulig sirkler gjennom $A$ og $D$ slik at lengden $AX=AY$ korresponderer med ...

Ny oppgave:
Vis at for alle heltall $d>59$ er $\gcd (2^{2^a}+d, 2^{2^b}+d)$ ubegrenset over alle positive heltall $a$ og $b$.

Nei.
Åpenbart kan ikke t være lik 2 eller 3. Av modulo 2 kan vi utag anta at $p=2$. Videre ser vi på modulo 9. q, r og s kan ikke alle være 3 fordi da er ikke venstresiden et kubikktall. Primtall i tredje potwns er kongruente med 1 eller -1 modulo 9. Dermed kan ikke 0 eller 2 av q, r og s være lik 3 ...

La $P$ være et $n$-graders monisk polynom med koeffisienter i $\{0,1\}$. Den mørke og mysteriøse Nils vet hva $P$ er. Tristan Amadeus kan stille Nils spørsmål om $k$ er i mengden $\{P(m)| m\in \mathbb{Z}_+\}$. Ærlige Nils svarer så ja eller nei. Hva er det minste antallet spørsmål Tristan Amadeus må ...

Svaret er alle $n$ som er kongruent med 1 eller 3 modulo 8.

Først ser vi at $3^k$ er kongruent med 1 eller 3 modulo 8. Dermed er det nødvendig at $n\equiv1,3 \pmod 8$.
Videre har vi av LTE at $\nu_2 (3^k-1) = \nu_2 (2) + \nu_2 (4) + \nu_2 (k) - 1$. Det følger at ordenen til $3$ modulo $2^m$ er $2 ...

La $m$ og $n$ være odde positive heltall. Et $m\times n$ brett er fylt med dominobrikker slik at nøyaktig én rute ikke er dekket. Denne ruten befinner seg i hjørnet øverst til venstre. Vi kan skli vertikale brikker vertikalt og horisontale horisontalt slik at de dekker den tomme ruten. Dette vil ...

Vi har av ordner at alle primtall $p>3$ slik at $p\mid n^3-1$ er kongruente med 1 modulo 3 eller deler $n-1$. Siden $\gcd(n-1, n^2+n+1)\mid 3$, er alle primtallsdivisorer av $n^2+n+1$ over 3 kongruent med 1 modulo 3. Videre har vi at $3\mid \sigma(n^2+n+1)$ impliserer at $n^2+n+1$ har en ...

Med dominoer, s-tetrominoer og z-tetrominoer kan man dekke et $2008\times 2010$ rutenett uten at en rute dekkes av flere brikker. Hva er minste antall dominoer som må brukes i en slik dekning?