La $n$ være antalll siffer i $a$. Da er

$(1) \;\; 10^{n-1} \leq a < 10^n$.

Likningen

${\textstyle (2) \;\; \frac{a}{b} = \overline{b.a}}$

er ekvivalent med

${\textstyle \frac{a}{b} = b + \frac{a}{10^n}}$,

i.e.

$(3) \;\; (a - b^2) \cdot 10^n = ab$.

Anta at $p$ er en primtallsdivisor av $a - b ...

Ved å gjøre substitusjonen $x = \sin z$ med ${\textstyle 0 < |z| < \frac{\pi}{2}}$ blir $0 < |\sin z|,\: \cos z < 1$ og

${\textstyle f(z) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin(x) = \frac{\sin z}{\sqrt{1 - \sin^2 z}} - \arcsin(\sin z) = \frac{\sin z}{\sqrt{\cos^2 z}} - z = \frac{\sin z}{\cos z} - z ...

Oppgave 1

Vi har gitt den diofantiske likningen

${\textstyle (1) \;\; \frac{2010}{x} + \frac{2010}{y} + \frac{2010}{z} = 1273}$,

der $x,y,z$ er distinkte positive heltall.

I og med at $1273 = 19 \cdot 67$ og $2010 = 30 \cdot 67$, er likning (1) ekvivalent med

${\textstyle (2) \;\; \frac{1}{x ...

Likningen

$(1) \;\; abc + ab + ac + bc + a + b + c = 1000$

er ekvivalent med

$(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 1001$.

Det faktum at $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ og $(a,b,c)$ er et trippel av positive heltall medfører at likning (1) har seks løsninger , nemlig $(a,b,c) = (6,10,12)$ og permutasjonene av ...

I denne pyramiden er grunnflate en likesidet trekant $ABC$ med sidelengde $x$ og sidekanter av lengde $x+1$.

Høyden $h$ er avstanden fra toppen $T$ på pyramiden til fotpunktet $S$ i grunnflata. La $D$ være fotpunktet for normalen fra $S$ på $AB$. Da er trekant $ADS$ rettvinklet der $\angle ADS ...

Vi setter inn et koordinatsystem der origo er skjæringspunktet mellom diagonalene i kvadratet.

Likningen for den omskrevne sirkelen er

$(1) \;\; (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$,

der $(a,b)$ er sentrum og $r$ er radius i den omskrevne sirkelen.

Vi ser vi at punktene $(10,0), (0,10), (-5,-5)$ ligger ...

Vi har gitt to heltall a,b>1 som tilfredsstiller likningen

$(1) \;\; a^b \cdot b^a = xyz4$.

Vi kan uten tap av generalitet (siden a og b er symmetrisk i likning (1)) anta at $a \leq b$.

Anta at a=b. Da har vi ifølge likning (1)

$500 < a^a < 5000$,

som har a=5 som eneste løsning. Men ettersom ...

Vi har gitt den diofantiske likningen

$(1) \;\; a^b \cdot b^c \cdot c^a = abc + 2(a + b + c) + p$,

der a,b,c er distinkte naturlige tall og p er et primtall.

Hvis abc er odde, er a,b,c alle odde, som betyr at venstre side av likning (1) er odde, hvilket igjen impliserer at p er like. Likeledes ...

$3^3 + 5^3 + 8^3 = 6^2 + 12^2 + 22^2 = 3 + 7 + 653 + 1$.

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5 + 3^n}{5^{n+2}} = \frac{1}{5} \sum_{n=0}^{\infty} \bigg( \frac{1}{5} \bigg) ^n + \frac{1}{5^2} \sum_{n=0}^{\infty} \bigg( \frac{3}{5} \bigg) ^n = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} + \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{1}{5-1} + \frac{1}{25 - 15 ...

Ved å velge x=41 får vi at

$f(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2$

som åpenbart ikke er et primtall.

Sett

$(1) \;\; x = 10^{320} - \sqrt{10^{640} - 1}$,

Ved å gange begge sider av likhetstegnet i (1) med $10^{320}+ \sqrt{10^{640} - 1}$, får vi

$(2) \;\; (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x = 1$.

Ved å sette

$f(x) = (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x$,

får vi

$f(10^{-320}) = 1 + \sqrt{1 - 10 ...

Nøtt nr. 2: Summen av den uendelige rekken kan regnes ut på følgende vis:

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{(3^{k+1} - 2^{k+1})(3^k - 2^k)}

= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k - 2^k} - \frac{2^{k+1}}{3^{k+1} - 2^{k+1}}

= \frac{2^1}{3^1 - 2^1} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^k}{3^k - 2^k} - \sum ...

La oss kalle en brikke med høyde 1 for horisontal og en brikke med høyde 4 for vertikal .
Vi deler boksen inn vertikalt i etasjer .
For $1 \leq m \leq 10$ definerer vi $x_m$ som antall brikker horisontale brikker som befinner seg i etasje $m$.
For $1 \leq n \leq 7$ definerer vi $y_n$ som antall ...