La $n$ være antalll siffer i $a$. Da er $(1) \;\; 10^{n-1} \leq a < 10^n$. Likningen ${\textstyle (2) \;\; \frac{a}{b} = \overline{b.a}}$ er ekvivalent med ${\textstyle \frac{a}{b} = b + \frac{a}{10^n}}$, i.e. $(3) \;\; (a - b^2) \cdot 10^n = ab$. Anta at $p$ er en primtallsdivisor av $a - b^2$ og $...

Ved å gjøre substitusjonen $x = \sin z$ med ${\textstyle 0 < |z| < \frac{\pi}{2}}$ blir $0 < |\sin z|,\: \cos z < 1$ og ${\textstyle f(z) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin(x) = \frac{\sin z}{\sqrt{1 - \sin^2 z}} - \arcsin(\sin z) = \frac{\sin z}{\sqrt{\cos^2 z}} - z = \frac{\sin z}{\cos z} - z = ...

Oppgave 1 Vi har gitt den diofantiske likningen ${\textstyle (1) \;\; \frac{2010}{x} + \frac{2010}{y} + \frac{2010}{z} = 1273}$, der $x,y,z$ er distinkte positive heltall. I og med at $1273 = 19 \cdot 67$ og $2010 = 30 \cdot 67$, er likning (1) ekvivalent med ${\textstyle (2) \;\; \frac{1}{x} + \fr...

Likningen $(1) \;\; abc + ab + ac + bc + a + b + c = 1000$ er ekvivalent med $(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 1001$. Det faktum at $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ og $(a,b,c)$ er et trippel av positive heltall medfører at likning (1) har seks løsninger , nemlig $(a,b,c) = (6,10,12)$ og permutasjonene av dette ...

I denne pyramiden er grunnflate en likesidet trekant $ABC$ med sidelengde $x$ og sidekanter av lengde $x+1$. Høyden $h$ er avstanden fra toppen $T$ på pyramiden til fotpunktet $S$ i grunnflata. La $D$ være fotpunktet for normalen fra $S$ på $AB$. Da er trekant $ADS$ rettvinklet der $\angle ADS = 90^...

Vi setter inn et koordinatsystem der origo er skjæringspunktet mellom diagonalene i kvadratet. Likningen for den omskrevne sirkelen er $(1) \;\; (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, der $(a,b)$ er sentrum og $r$ er radius i den omskrevne sirkelen. Vi ser vi at punktene $(10,0), (0,10), (-5,-5)$ ligger på d...

Vi har gitt to heltall a,b>1 som tilfredsstiller likningen $(1) \;\; a^b \cdot b^a = xyz4$. Vi kan uten tap av generalitet (siden a og b er symmetrisk i likning (1)) anta at $a \leq b$. Anta at a=b. Da har vi ifølge likning (1) $500 < a^a < 5000$, som har a=5 som eneste løsning. Men ettersom $2 \cdo...

Vi har gitt den diofantiske likningen $(1) \;\; a^b \cdot b^c \cdot c^a = abc + 2(a + b + c) + p$, der a,b,c er distinkte naturlige tall og p er et primtall. Hvis abc er odde, er a,b,c alle odde, som betyr at venstre side av likning (1) er odde, hvilket igjen impliserer at p er like. Likeledes, hvis...

$3^3 + 5^3 + 8^3 = 6^2 + 12^2 + 22^2 = 3 + 7 + 653 + 1$.

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5 + 3^n}{5^{n+2}} = \frac{1}{5} \sum_{n=0}^{\infty} \bigg( \frac{1}{5} \bigg) ^n + \frac{1}{5^2} \sum_{n=0}^{\infty} \bigg( \frac{3}{5} \bigg) ^n = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} + \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{1}{5-1} + \frac{1}{25 - 15...

Ved å velge x=41 får vi at

$f(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2$

som åpenbart ikke er et primtall.

Sett $(1) \;\; x = 10^{320} - \sqrt{10^{640} - 1}$, Ved å gange begge sider av likhetstegnet i (1) med $10^{320}+ \sqrt{10^{640} - 1}$, får vi $(2) \;\; (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x = 1$. Ved å sette $f(x) = (10^{320} + \sqrt{10^{640} - 1})x$, får vi $f(10^{-320}) = 1 + \sqrt{1 - 10^{-640}} > 1...

Nøtt nr. 2: Summen av den uendelige rekken kan regnes ut på følgende vis: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{(3^{k+1} - 2^{k+1})(3^k - 2^k)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k - 2^k} - \frac{2^{k+1}}{3^{k+1} - 2^{k+1}} = \frac{2^1}{3^1 - 2^1} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2^k}{3^k - 2^k} - \sum_{m=2}^{...

La oss kalle en brikke med høyde 1 for horisontal og en brikke med høyde 4 for vertikal . Vi deler boksen inn vertikalt i etasjer . For $1 \leq m \leq 10$ definerer vi $x_m$ som antall brikker horisontale brikker som befinner seg i etasje $m$. For $1 \leq n \leq 7$ definerer vi $y_n$ som antall vert...