Karakteriser en usynlighetsfrosk med vektoren $(a,b)$ der hvert element henholdsvis angir startsposisjon og retning ($a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}_2$). Det er nå klart at det er en tellelig mengde med usynlighetsfrosker, så enhver frosk kan skytes på endelig antall trekk.

1) Definer $a_n$ som den minste $k \in \mathbb{N}$ slik at $n \mid k!$. La $\mathcal{C} = \{4,6,8,9,10,12,\dots\}$ være mengden av alle sammensatte tall. Konvergerer eller divergerer rekken under? $$\sum_{n \in \mathcal{C}} \left (\frac{a_n}{n} \right )^n.$$

La $p_n$ betegne den minste ...

For å utdype det som er sagt over: i prinsippet er det mulig å betrakte taylorrekken for $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ som en formell rekke (altså et uendelig langt polynom), og gange den sammen med seg selv og telle opp hva koeffisienten til hver potens burde være (på ...

Satser på at denne oppfølgeren fra IMO shortlist ikke har blitt postet før:

For positive reele tall $a,b,c$ som oppfyller $\min\left(ab,bc,ca\right)\geq1$, vis at $$\sqrt[3]{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\leq \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2+1.$$

HInt:
Det kan være nyttig ...

Oppfølger:
La $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Vis at
$(a+b+c+d)^2\le 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+6ab$.

Ulikheten er ekvivalent med $2(ac+ad+bc+bd+cd) \leq 2(a^2+b^2+c^2+d^2)+4ab$. Ettersom $c^2+d^2\geq \frac{\left(|c|+|d|\right)^2}{2}\geq \frac{\left(c+d\right)^2}{2}$ er det tilstrekkelig å vise at $2(ac+ad ...

La $P'=\left\{S|S\in P_n,|S|=n-1\right\}$. Vi starter med observasjonen at $f$ er unikt bestemt av verdiene til $f(S), S\in P'$ samt $f\left(\left\{1,2,\dots,n\right\}\right)$. Det er fordi enhver mengde i $P_n$ med størrelse mindre enn $n$ kan uttrykkes som et unikt snitt mellom mengder i $P'$, og ...

Gustav wrote:Kult! Gratulerer med bronsen, veldig imponerende! (for de med adressaabonnement: https://www.adressa.no/pluss/nyheter/20 ... 547199.ece )

Takk!

En overraskende løsning til Bank of Bath som Magnus Hellebust Haaland (deltaker NOR1) fant under konkurransen:
Vi løser $b)$, ettersom $a)$ følger trivielt fra konklusjonen i $b)$.

For hver mynt som viser $T$, gi den antall poeng lik antall $H$-mynter den har til høyre for seg selv. Vi skal vise ...

Jeg går for tiden på VGS, og her er det en generell konsensus om at fellesfag fra VG1 står for de letteste (privatist)eksamene. De er fag hvor sensorene setter mye fokus på evnen til å "tenke selv/drøfte", noe som gjør at små mangler i fagkunnskap ikke er et hinder for sekseren. I min erfaring ...

Riktige svar, men hva er argumentet ditt for at $\sqrt{n}$ (og $\sqrt{n+2005}$) må være heltall? Det er jo tross alt mulig at summen av to irrasjonale tall er et heltall.

Det er også tilstrekkelig å betrakte $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}=k \Rightarrow \sqrt{n}^2=(k-\sqrt{n+2005})^2 \Rightarrow n= k^2 ...

Løsning: Det er lett å se $f(x)\rightarrow kf(x)$ og $f(x)\rightarrow f(kx)$ begge bevarer polynomstrukturen til $f$ for reele $k$. Men de to transformasjonene og semmensetningene av de tilsvarer en undergruppe av affine transformasjoner, som bevarer forhold mellom areal. Ta dermed transformasjonen ...

Gjest wrote:

mingjun wrote:Her er et løsningsforslag for del 1.

Hei. Tusen takk for løsningforslag! Har funnet en feil i Oppgave 2a
Når vi har funnet at e^x = 1, så er x = 0, ikke 1.

Takk. Det er fikset.

Gjest wrote:

mingjun wrote:Her er et løsningsforslag for del 1.

4 er ikke gyldig i 2b

Takk. Det skal være fikset nå.

Denne oppgaven er fra dagens eksamen i R1 (del 2). Uten å bruke CAS, det eksisterer én (antakeligvis flere) løsning som ikke inneholder én eneste linje algebra. Kan du finne den?

Her er et løsningsforslag for del 1.