La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$. La $I=\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}$ og $H=\left\{x \in G : f^2(x)=x \right \}$. Da er $I\subseteq H$: La $x\in I...

La $F$ være en endelig kropp. Vis at hvilket som helst element i $F$ kan skrives som summen av to kvadrater, altså hvis $x \in F$, så finnes det $y,z \in F$ slik at $x=y^2+z^2$.

La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$.

Ble litt nysgjerrig på denne da jeg var og er fortsatt stor fan av Kalkulus og oppfølgeren Flervariabel Analyse med Lineær Algebra av Lindstrøm. Det faget dere henviser til på UiO - hva er måler med det og hva handler det om? Skummet kjapt gjennom innholdsfortegnelsen til pdfen som lå ut gratis og d...

La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$. Her er jeg på gyngende grunn! Har tatt MAT2410 på UiO (for noen år siden). Altså hv...

La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$.

Lemma: Hvis $\gcd(m,n)=1$ er $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$. Bevis. Siden $\gcd(m,n)=1$ er $\mathbb{Z}_{mn}$ og $\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_n$ isomorfe som ringer. Dermed har de like mange enheter. Enheter av en ring $R$ danner en multiplikativ gruppe $U(R)$, og i tilfellet $\mathbb{Z}_{\e...

Modulo 4 fås $A^4\equiv 3I$, så ved å ta determinanten fås $\det(A)^4\equiv 3^n$. Siden $n$ er odde er $3^n\equiv 3\pmod 4$, men den diofantiske ligningen $x^4\equiv 3\pmod 4 $ har ingen løsninger, og det er dermed ingen oddetall n som er løsninger på problemet. PS: Det mest forvirrende med denne v...

mingjun skrev:Karakteriser en usynlighetsfrosk med vektoren $(a,b)$ der hvert element henholdsvis angir startsposisjon og retning ($a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}_2$). Det er nå klart at det er en tellelig mengde med usynlighetsfrosker, så enhver frosk kan skytes på endelig antall trekk.

Selvfølgelig rett!

Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1. Dette betyr at alle partall > 2 er kvadrat...

Vi sier at et heltall $n$ er kvadratisk dersom du kan lage et kvadrat av $n$ kvadrater. For eksempel er $1,4$ og $7$ kvadratiske tall. Finn alle kvadratiske tall.

Usynlighetsfrosken er en svært eksotisk froskeart som man kan finne dypt inne i den matematiske jungelen. I denne jungelen finnes det en uendelig rekke med liljeblader indeksert av $\mathbb{Z}$, og frosken sitter på en av disse bladene. Usynlighetsfrosken har et spesielt hoppemønster den følger til ...

La $p_n$ betegne den minste primdivisoren til $n$ som ikke er $1$. For sammensatte tall $n$ som ikke er en potens av $p_n$ kan vi skrive $$a_n\leq \frac{n}{p_n} \leq \frac{n}{2}.$$ La $C' \in C$ være mengden av alle primttallspotenser i $C$, og la $\bar{C}=C\backslash C'$. Summen over $\bar{C}$ kon...

1) Definer $a_n$ som den minste $k \in \mathbb{N}$ slik at $n \mid k!$. La $\mathcal{C} = \{4,6,8,9,10,12,\dots\}$ være mengden av alle sammensatte tall. Konvergerer eller divergerer rekken under? $$\sum_{n \in \mathcal{C}} \left (\frac{a_n}{n} \right )^n$$ 2) Finnes det et positivt oddetall $n$ sli...

Gratulerer så mye med bronsen mingjun! Svært imponerende!