Ettersom $f_{\alpha}$ er primitivt og irredusibelt over $\mathbb{Z}$, er det også irredusibelt over $\mathbb{Q}$ fra Gauss' lemma. Dermed må $f_{\alpha}$ være det minimale polynomet til $\alpha$ over $\mathbb{Q}$. Nå ser du at du får en selvmotsigelse om $r\neq 0$.
Takk! Snakket med professoren i ...

Du har altså vist at enten er $ar=0$ eller så er ikke $ar$ monisk. Uansett ender du med $ar\in I$ og at $h \in (f_{\alpha})$. Hva er problemet?
Ja, hvis vi får vist at $h\in (f_\alpha)$ så er vi så godt som ferdige. Jeg er enig i at $ar\in I$, men har vi ikke $h\in (f_\alpha)$ hvis og bare hvis ...

Mener du at beviset ikke fungerer om $f_{\alpha}$ er monisk, eller at du ikke ser hvordan vi kan anta at $f_{\alpha}$ er monisk i beviset?
Slik jeg ser det så bryter beviset ned hvis vi definerer $f_\alpha$ som monisk fra starten av (slik starten av beviset over gjør). Dette er fordi vi ikke har ...

Hei, jeg har et bevis fra forelesningene som jeg er litt usikker på.

Proposition: Let $\alpha\in\mathbb{C}$ be an algebraic integer. Then the ideal
\ \to\mathbb{C},f\mapsto f(\alpha))\]is principal, and equal to $(f_\alpha)$ for some irreducible monic $f_\alpha\in\mathbb{Z}[X]$.

Problemet er at ...

Takk Nebu! Som du sier så kan vi se bort ifra imaginærdelen og bruke trigonometri:
\begin{align*}
\int_\mathbb{R}\frac{\sin x}{x}e^{-itx}\mathop{dx} &= \int_\mathbb{R}\frac{\sin x\cos(-tx)}{x}\mathop{dx}\\
&= \frac12\int_\mathbb{R}\frac{\sin(x+tx)+\sin(x-tx)}{x}\mathop{dx}\\
&= \frac12\int_\mathbb{R ...

Jeg har integralet
\[ I= \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-itx}\mathop{dx},\quad t\in \mathbb{R} \]
Det er gitt som en oppgave i kompleks analyse, men jeg mistenker at det kan løses vha. derivering under integraltegnet. Men jeg havner i trøbbel:
\[ \frac{\partial I}{\partial t} = \int ...

Takk Gustav, det hjalp veldig. Har du noen idé angående usual length metric vs standard Euclidean metric induced from $\mathbb{R}^2$?

EDIT: Noe har gått skrekkelig galt med formateringen her - noen som vet hvordan jeg kan få ordnet opp i dette?

For $a>0$, let $S\subset \mathbb{R}^3$ be the circular half-cone defined by $z^2 = a(x^2+y^2),z>0$, considered as an embedded surface.

Show that $S$ minus a ray through the origin is ...

Gustav wrote:Fins det to påfølgende primtall hvis sum er lik det dobbelte av et primtall?

En av mine favorittoppgaver! La $p<q$ være påfølgende primtall. Da er $\frac12(p+q)\in(p,q)$, men der er det ingen primtall.

Forresten så blir det vanskelig å si noe vettugt om en eventuell tverrsum av $1/150=0.00666666\dots$

Flotters stensrud! Løste den mer eller mindre likt som deg, og viste siste delen ved sterk induksjon på $n$. Man kan vel også løse den som en differenslikning, hvilket jeg tror du gjorde? Oppgaven er fra den russiske matematikkolympiaden 1995.
Ja, det er sikkert mange måter å formalisere ...

Følgen $(a_n)$ er definert ved $a_1=1$ og $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac12 \left(a_{2m}+a_{2n}\right)$ der $m,n$ er ikke-negative heltall slik at $m\geq n$. Finn $a_{2018}$
Fin oppgave. Siden $a_0=0$ så har vi (med $m=k,n=0$)
\[ 2a_{k} = \frac12a_{2k}, \]
og lar vi $m=k,n=1$, så får vi
\[ a_{k+1}+a_{k-1 ...

La $\alpha,\beta$ være skalarer og la at $u,v\in U\cap V$. Da er $u,v\in U$, og siden $U$ er et underrom så er $\alpha u + \beta v \in U$. Helt tilsvarende viser vi at $\alpha u + \beta v \in V$, og det følger at $\alpha u+\beta v\in U\cap V$.

Finnes det noen standarder for dette? Når jeg tenker over det så pleier jeg selv å skrive $(v,u)=v^\dagger u$ for indreproduktet av vektorer, samtidig som jeg skriver fouriertransformasjonen min slik:
\[ (f,\omega) = \sum_x f(x)\omega^{-rx}. \]
Og er det grunner til å foretrekke det ene alternativet ...

Aleks855 wrote:La $a, b \in \mathbb N$ slik at $ab+1 | a^2 + b^2$. Vis at $\frac{a^2 + b^2}{ab+1}$ er kvadratet av et heltall.