Det er helt riktig at det ikke er "helt formelt". Føler meg ikke 100% komfortabel med smådetaljene atm så da er det best å ikke skrive noe tull. :wink:

Jeg mener/tror at når vi skal se på grensen til tan^n(x) når n \to \infty på et intervall må man muligens inn med et begrep som heter uniform ...

Vi integrerer fra 0 til \pi/4 så vi trenger kun bry oss om x \in [0,\pi/4] . Vi argumenterte over for at tan^n(x) \to 0 når n \to \infty for x \in [0,\pi/4) . For x = \pi/4 så har vi at tan(\pi/4) = 1 så tan^n(\pi/4) = 1 for alle n .

Ved å flytte grensen innenfor integralet skal vi i praksis ...

Grunnen til at \sqrt2/2 er "lettere" enn 1/\sqrt2 er at i begge stykkene må man ha \sqrt2 , men i det første deler man dette på 2 mens i det andre må man finne 1 delt på \sqrt2 , også kjent som multiplikativ invers ( \sqrt2^{-1} ). Generelt er det enklere å dele et tall på 2 enn å dele 1 på tallet ...

Kommer an på nivået du er på. Hvor er oppgaven hentet fra?

Nå til andre del. Regner med du mener å si at 0 \leq tan(x) < 1 når x \in [0,\pi/4) . Det du sikkert mener er at når n \rightarrow \infty så vil tan^n(x) \rightarrow 0 på [0,\pi/4) . Dette holder som et (ganske godt) intuitivt argument da funksjonsverdien i punktet x = \frac{\pi}{4} alene ikke har ...

Besvarer ditt første spørsmål. I matematikken er det vanlig å definere 0^0 = 1 (av diverse mer eller mindre praktiske årsaker). Hvis du ikke ønsker å bruke dette kan man vise at \lim_{x \to 0^+} tan^0(x) = 1 og bruke teorien om uekte integraler (improper integrals) til å regne ut integralet ...

Sikker på at du skrev inn oppgaven riktig?

Med dataene over får man vel a_0 = \frac{4}{\pi} ? (Gitt at man bruker \frac{a_0}{2} i selve fourierrekken.)

Utregning: a_0 = \frac{1}{\pi/2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} 2sin2x dx = \frac{2}{\pi} [-cos2x]_0^{\pi/2 ...

Dette blir kanskje flisespikking, men middelverdisetningen/Sekantsetningen/Mean Value Theorem er ikke det man bruker her. Denne setningen omhandler den deriverte, og vi vet ikke om f er deriverbar. Vi bruker skjæringssetningen/Intermediate Value Theorem som kort sagt sier at dersom f er kontinuerlig ...

Tangenten vi er ute etter er linjen y = -x -\frac{1}{4} .

Måten jeg kom fram til dette på var å starte med å finne f'(x) = 2x . Da er tangenten til f i et gitt punkt x_0 lik y = 2x_0(x-x_0) + x_0^2 = x_0(2x-x_0) . For at dette også skal være en tangent til g vil vi at linjen krysser g i nøyaktig ...

Hvis du fort blir ufokusert i forelesning/timen, slik som meg, kan det å ta notater være en fin måte å holde fokus oppe på.

Det virker som du kanskje blander litt definisjoner. Kontinuitet er det vanskeligste, men den definisjonen trenger du ikke akkurat nå. Definisjonen av injektivitet er at f(x) = f(y) \implies x = y , i.e. f sender ulike punkter på ulike punkter. Definisjonen av strengt monoton er vel at enten er det ...

Det blir dessverre ikke helt rett. Hvis du vil vise K \wedge I \implies M ved kontraposisjon må du vise at \lnot M \implies \lnot (K \wedge I) = \lnot K \lor \lnot M. Altså at hvis f ikke er strengt monoton så er f enten ikke kontinuerlig, ikke injektiv eller begge. Dette blir litt knotete.

Siden ...

Hvis jeg forstår deg rett lurer du på hvorfor det er slik at dersom a^2 er partall så er a et partall. (Her er det underforstått at a er et heltall. Begrepet partall gir ikke mening for vilkårlige reelle tall.)

For å vise dette kan man føre et kontrapositivt bevis. Vi vil vise at a^2 partall ...

Det er ikke helt riktig, men idéen er der! :) Du behøver kontinuiteten til f for å nå helt frem. Husk hva definisjonen av en strengt monoton funksjon er. Hvis f ikke er kontinuerlig kan den godt ikke være strengt monoton, men fremdeles være injektiv. F. eks:

f = \begin{cases}
\frac{1}{x} & x\neq ...

Fourierrekken til f er gitt ved a_0 + \sum_{n=1}^\infty{[a_ncos(nx) + b_nsin(nx)]} .

Koeffisientene er gitt ved følgende integraler:
a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)dx}

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)cos(nx)dx}

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(x)sin(nx)dx}

(Dette er for ...