Hva har du prøvd å gjøre? Er det meningen at oppgaven skal løses på en bestemt måte?

Løsning – 1. ulikhet

Ulikheten er homogen, så vi kan anta at $a+b+c+d = 1$.

Jensens ulikhet sier:
La $f$ være en konveks funksjon på et intervall $I$,
$x_1,\ldots, x_n \in I$ og $v_1,\ldots,v_n \ge 0$ der
$v_1 + \cdots + v_n = 1$. Da er:
$$ v_1 f(x_1) + \cdots + v_n f(x_n) \ge f(v_1 x_1 + \cdots ...

Tips: Tegn opp kreftene som virker på en dråpe på skrålinjen. Hva blir summen av disse kreftene?

Siden definisjonsmengden til $f$ er de naturlige tallene, så må (la $m = 1$):
$1 - n + f(n) \ge 1 $, som er det samme som at $f(n) \ge n$.

Videre kan ikke $f(n) = n$, i så fall blir
$$n = f( n - n + f(n) ) = f(n) + f(n) = 2n$$
som er umulig.

Følgelig er alltid $f(n) > n$. Dermed kan vi skrive $f(n ...

Noen tanker om oppgavene:

Personlig vil jeg si at gresshoppe-oppgaven (oppg. 3a) var den enkleste. Om deltakerne er enige, kan nok komme an på om de har vært borti differensligninger før (en godt forberedt deltaker har trolig kjennskap til dem). Geometri-oppgaven (oppg. 2) vil jeg si var den ...

Oppgave 3b
Ni punkter er plassert på en sirkel. Vis at det er mulig å farge de 36 kordene
som forbinder dem ved hjelp av fire farger slik at for ethvert utvalg av fire
punkter er hver av de fire fargene brukt for minst én av de seks kordene som
forbinder de utvalgte punktene.

Løsning
Kall ...

Oppgave 2
Punktene P og Q ligger på sidene BC og CD i parallellogrammet ABCD slik
at BP = QD . Vis at skjæringspunktet mellom linjene BQ og DP ligger på
vinkelhalveringslinjen til ∠BAD .

Løsning (skisse)
I et skjevt koordinatsystem, la:
$A = (0,0)$
$B = (1,0)$
$D = (0,b)$
$P = (1,a)$
$Q = (a,b ...

Idéen er å finne (rasjonale) tall x og y slik at

29n + 11 \;=\; x(3n + 1) \; + \; y(10n + 1)

for deretter prøve å faktorisere.

La:

3n+1 = a^2
10n+1 = b^2

Man finner følgende:

29n + 11 \;=\; \frac{ 81 }{ 7 } \cdot (3n + 1) \; - \; \frac{ 4 }{ 7 } \cdot (10n + 1) \;=\; \frac{ 81 }{ 7 ...

Jeg har hørt om ham. Han var visstnok ikke matematiker, men gav forelesninger i litteratur (se f.eks. Wikipedia ).

Panin fant forskjellige mønstre i gresk og hebraisk bibeltekst. Mønstrene involverte særlig tallet 7. Spørsmålet er om disse mønstrene beviser at Bibelen er Gud ord.

Selv om jeg er ...

Se http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 164#151164.

Muligens jeg overkompliserer til tider, men her kommer løsningsforslag og ny oppgave.

Løsningsforslag
Konstaterer først at f, g: \, \mathbb{R} \to \mathbb{R} er bijeksjoner. Siden funksjonene i tillegg er strengt stigende, så må de være kontinuerlige. I motsatt fall ville det blitt hull i ...

Hvis du viser oss hva du har prøvd, så er det lettere å peke på feil og hjelpe deg på rett vei.

Stort sett riktig dette, men du har tatt arealet av en helsirkel og ikke en halvsirkel. Altså er:

[tex] A \, = \, xy \, + \, \frac{ \pi \, \cdot \, (\frac{x}{2})^2 }{ 2 } [/tex]

Faktoriser og følg framgangsmåten i Per-databasen:
Fortegnsskjema

Kort fortalt er ideen å uttrykke figurens areal f.eks. vha. halvsirkelens radius.
Si at A(r) er arealet.
Vi vil ha maksimalt areal når A'(r) = 0 eller på et endepunkt.
Dette gir oss r = …
Altså blir sidene til rektangelet …