Skikkelig julenøtt Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Skikkelig julenøtt

Re: Skikkelig julenøtt

Innlegg Solar Plexsus » 07/09-2019 16:52

Ble først oppmerksom på denne julenøtten i dag, og fant den såpass interessant at jeg har har grublet og funnet følgende løsning av denne mye omtalte julenøtten:


La $k$, $p$ og $x \leq y \leq z$ være hhv. klokkerens, prestens og de tre kvinnenes alder i år. Ut fra opplysningene gitt i oppgaveteksten skal vi finne de triplene $(x,y,z)$ som tilfredsstiller

$(1) \;\; xyz = 2450$,

$(2) \;\; x + y + z = 2k$,

$(3) \;\; x \leq y \leq z < p$.

Ettersom klokkeren ikke fant en entydig løsning før han fikk opplysningen om at presten er eldst av de fem, betyr det at finnes to forkjellige tripler $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ og $(x,y,z)=(x_2,y_2,z_2)$, der $z_1 \leq z_2$, som tilfredsstiller (1)-(2). (Her har jeg utelatt (3) fordi klokkeren får vite at $p>z$ først etter å ha snakket med presten dagen etter sistnevnte ga klokkeren utfordringen med å bestemme de tre kvinnenes alder).

Spørsmålet er nå hvordan klokkeren kan eliminere en av disse to triplene som løsning av problemet etter å ha fått vite av presten at $z_1<p$.

Dersom $(x,y,z)=(x_2,y_2,z_2)$ tilfredsstiller (1)-(2), betyr det at $z_2<p$ ifølge (3), som igjen innebærer at også $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)$ tilfredsstiller (1)-(3) siden $z_2 \geq z_1$. Så i dette tilfellet står vi igjen med to løsninger av problemet. Herav følger at (siden problemet skal ha en entydig løsning), må kvinnenens alder være $x_1,y_1,z_1$ år og at $p \leq z_2$. Dermed må $z_1<p$, som betyr at

$(4) \;\; z_1 < p \leq z_2$.

Skal prestens alder $p$ være entydig, må det være kun en verdi av $p$ som tilfredsstiller (4). Dermed må

$(5) \;\; z_2 = z_1+1 = p$.

Fra (1) får vi at $z_1$ og $z_2$ er divisorer i 2450. I og med at $z_2=z_1+1$, er største felles divisor for $z_1$ og $z_2$ lik 1, som igjen betyr at $z_1z_2 \mid 2450$, i.e.

$(6) \;\; z_1(z_1 + 1) \mid 2450 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7^2$.

Av (6) følger at $z_1(z_1 + 1) \leq 2450 = 49 \cdot 50$, som impliserer at $z_1 \leq 49$ og $z_1=49$ tilfredstiller (6).
Anta at $z_1<49$. Da må ${\textstyle z_1(z_1+1) \leq \frac{2450}{2}=35^2}$ ifølge (6), som gir $z_1 \leq 34$. Ved å kombinere (1) og (3) får vi at $z_1^3 \geq 2450$, som gir $z_1 \geq 14$. Dermed har vi at

$(7) \;\; 14 \leq z_1 \leq 34$.

Ved hjelp av (6) finner vi at $z_1(z_1 + 1)$ verken deler 3 eller 4, som betyr at $z_1 \equiv 1 \!\!\!\! \pmod{3}$ og $z_1 \equiv 1,2 \!\!\!\! \pmod{4}$, hvilket innebærer at

$(8) \;\; z_1 \equiv 1,10 \!\!\!\! \pmod{12}$.

Ved å kombinere (7) og (8) får vi at

$(9) \;\; z_1 \in \{22,25,34\}$.

Ifølge (6) kan $z_1$ kun ha primtallsdivisorene 2, 5 eller 7, som betyr at $z_1=25$ er eneste mulighet ifølge (9). Dette medfører at $z_1+1 = 26 = 2 \cdot 13$, som er umulig ifølge (6).
Summa summarum, den eneste løsningen av (6) er $z_1=49$.

Konklusjon: Prestens alder er $z_2=z_1+1=49+1=50$ år.

Kommentar: Skal vi bestemme de to yngste kvinnenes alder $x_1,y_1$ og klokkerens alder $k$, må vi løse likningssystemet

$(10) \;\; x_1 + y_1 + 49 = 2k$,

$(11) \;\; x_1y_1 = 50$,

$(12) \;\; x_2 + y_2 + 50 = 2k$,

$(13) \;\; x_2y_2=49$.

Ved å kombinere (11) og (13) med (3) som uttrykker at $x_1 \leq y_1 \leq 49$ og $x_2 \leq y_2$ finner vi at $(x_1,y_1) \in \{(5,10),(2,25)\}$ og $(x_2,y_2) \in \{(7,7),(1,49)\}$. Herav følger at $x_1+y_1 \in \{15,27\}$ og $x_2+y_2 \in \{14,50\}$. Dette sett i lys av at $(x_1+y_1) - (x_2+y_2) = 1$ (får vi ved å trekke likning (12) fra likning (10)) gir oss $(x_1+y_1,x_2+y_2)=(15,14)$, der $(x_1,y_1)=(5,10)$ og $(x_2,y_2)=(7,7)$. Dermed resulterer ifølge (2) i at

$2k = x_1+y_1+49 = 15 + 49 = 64 = 2 \cdot 32$,

i.e. $k=32$.

Summa summarum, de tre søstrene er 5, 10 og 49 år, presten er 50 år og klokkeren er 32 år.

Re: Skikkelig julenøtt

Innlegg Klasen » 29/08-2019 11:15

Man må forstå at opplysningen om at presten er eldst har betydning.
Klokkeren klarte først ikke å regne ut svaret fordi det var mange mulige svar. Hvis opplysningen om at presten er eldst gir kun ett mulig svar, så er svaret at kvinnene er henholdsvis 7,14, og 25 år, mens klokkeren er 23 år. Da er presten 26 år. I alle andre kombinasjoner kan presten være hva som helst over en viss alder (avhengig av alderen på de andre).
Klokkeren trenger ikke engang vite hvor gammel presten er, bare at presten=26 år er den eneste kombinasjonen som gir ett unikt svar.

Innlegg skf95 » 19/01-2011 15:51

skf95 skrev:Tror jeg er på sporet av noe nå:

Foreløpig har jeg bare funnet 3 mulige aldre til disse damene:

Alternativ 1
Dame 1: 10
Dame 2: 49
Dame 3: 5
Da blir klokkeren 32 år

Eller

Alternativ 2
Dame 1: 25
Dame 2: 49
Dame 3: 2
Da blir klokkeren 38 år

Eller

Alternativ 3
Dame 1: 7
Dame 2: 7
Dame 3: 10
Da blir klokkeren 12 år


Alle disse gir et produkt på 2450. Løsningen tror jeg ligger i replikken "Å, men da er det jo lett".

Tydeligvis vet klokkeren hvor gammel presten er, og kan ut i fra det vite hvor gamle damene er:

Alternativ 1 gir av prestens alder er større en 49
Samme med alternativ 2.
Alternativ 3 betyr at presten er eldre enn 12

Tydeligvis betyr det at det må være flere alders alternativ for damene, tror jeg.[/u]

Innlegg Charlatan » 18/12-2010 19:09

Helt enig med plutarco her, man skal aldri endre/fjerne sine innlegg slik at trådens innhold mister sin mening på noen måte.

Innlegg Karl_Erik » 18/12-2010 19:04

Beklager, ja, du har rett. Endrer innlegget nå.

Innlegg espen180 » 18/12-2010 18:56

Var det ikke prestens alder det var snakk om?

Innlegg Karl_Erik » 18/12-2010 18:52

Med forbehold om at jeg husker feil:

I en kirke sitter presten og klokkeren og snakker med tre kvinner. Etter en tid takker kvinnene for seg, og presten og klokkeren blir sittende. "Vet du hvor gamle de kvinnene var?" spør presten. "Nei, det gjør jeg ikke," sier klokkeren. "Jeg kan si deg så mye som at produktet av aldrene deres var 2450, og at summen av aldrene deres var det dobbelte av alderen din," sier presten.

Klokkeren grubler over dette til neste dag, og blir da spurt av presten om han har funnet ut av det ennå. Klokkeren må svare nei på dette. "Da kan jeg kanskje også fortelle deg at av oss fem var jeg den eldste," sier presten. "Å ja," sier klokkeren, "da er det jo lett!".

Hvor gammel er presten?

EDIT: Før sto det til slutt "Hvor gamle var de tre kvinnene?", men som espen180 påpekte var spørsmålet egentlig det det står nå - "Hvor gammel er presten?".

Innlegg Sievert » 18/12-2010 17:01

espen180 skrev:Gidder du å restaurere det opprinnelige innlegget? Slik det er nå hjelper det lite de som først nå får lest tråden.


Det var vel en innlevering med "premie til de som deltar" eller noe i den duren. Så tror neppe han vil skrive det på nytt. :roll:

Innlegg espen180 » 18/12-2010 15:59

Gidder du å restaurere det opprinnelige innlegget? Slik det er nå hjelper det lite de som først nå får lest tråden.

Innlegg skf95 » 18/12-2010 01:18

Bra sammendrag! Det hele kan vel oppsumeres med at oppgaven krever mye logikk, ikke nødvendigvis kunnskaper om likningee, som en skulle tro!

Innlegg Fibonacci92 » 18/12-2010 01:09

Etter å ha lest alle kommentarene fikk jeg lyst til å skrive en oppsummering i og med at jeg først antok at oppgaven var umulig å løse.

I denne oppgaven må vi anta at klokkeren vet sin egen alder, og at klokkeren vet presten sin alder. I tillegg må vi godta at alle kvinner fra 1 år og oppover regnes som damer. Dessuten må vi anta at klokkeren og presten har "perfekt logikk".

I og med at klokkeren vet sin egen alder, men likevel er usikker på svaret, må det bety at det finnes flere mulige alderskombinasjoner som gir produkt 2450 og sum lik det dobbelte av klokkerens alder.

Ved litt prøving og feiling finner vi ut at kombinasjonene 50, 7, 7 og 49, 10, 5 gir samme sum og produkt. Kvinnene er derfor en av disse aldrene.

Her er det viktig å notere seg at informasjonen om prestens alder er relevant. Klokkeren vet allerede prestens alder. Hvis presten er over 50 år gammel, hjelper ikke informasjonen klokkeren, og han kunne dermed ikke løst oppgaven. Hvis presten er under 50 er ikke presten eldst i noen av kombinasjonene (Vi regner ikke med forskjeller i måneder osv...). Siden presten ikke kan være under eller over 50 år gammel må den selvfølgelig være 50 år!

Innlegg skf95 » 18/12-2010 00:50

Det sto at på forumte får du raskt hjelp. Tok bare noen minutter før folk begynte å hjelpe. Denne siden kommer nok til stor nytte når jeg begynner på videregående!!

Innlegg Gustav » 18/12-2010 00:41

skf95 skrev:Jeg er ny her jeg, ble med i dag....


Ja, den er grei. Velkommen til forumet:)

Innlegg skf95 » 18/12-2010 00:40

Jeg er ny her jeg, ble med i dag....

Innlegg Gustav » 18/12-2010 00:38

@skf95: Det er vanlig praksis å la det opprinnelige innlegget stå mer eller mindre slik det ble skrevet. (Og det gjelder også innlegg generelt, sålenge trådens naturlige, logiske flyt avhenger av disse)

Topp