Fra sum til brøk Skriv et svar


Dette spørsmålet er en metode for identifisering og hindring av automatiserte innsendinger.
Smil
:D :) :( :o :shock: :? 8-) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:
BBCode er
[img] er
[flash] er AV
[url] er
Smil er
Emne
   

Utvid visningen Emne: Fra sum til brøk

Innlegg daofeishi » 01/10-2006 15:01

Jada, det finnes mange algebraiske måter å gjøre det på. Wikipedia har vist en. En annen er ved å bruke teleskoprekker:

Legg merke til at:
[tex]\sum _1 ^n [k^2 - (k-1)^2] = n^2[/tex]
Siden hvert ledd kansellerer det forrige - helt fram til siste leddet. Dette er en teleskoprekke, siden hele rekken "folder" seg selv sammen, omtrent som gamle uttrekksteleskop.

[tex]k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1 \\ \Rightarrow \sum _1 ^n (2k - 1) = n^2 \\ 2\sum _1 ^n k - \sum _1 ^n 1 = 2 \sum _1 ^n k - n = n^2 \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]


Teknikken med teleskoprekker kan brukes videre for summen av kvadrater og kuber også - og bygger da videre på tidligere resultater.

[tex] k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1 \\ \sum _1 ^n (3k^2 - 3k + 1) = n^3 \\ 3\sum _1 ^n k^2 = n^3 + 3\sum _1 ^n k - \sum _1^n 1 = n^3 + \frac{3(n^2 + n)}{2} - n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \\ \therefore \ \ \sum _1 ^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

[tex]k^4 - (k-1)^4 = 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \\ 4\sum _1^n k^3 = n^4 + \frac{6n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} + n = n^2(n+1)^2 \\ \therefore \sum _1^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

Innlegg sEirik » 28/09-2006 21:31

Wikipedia har visst klart å gå algebraisk fra (1) til (2). Elegant måte å gjøre det på også.

Innlegg Cauchy » 23/09-2006 15:40

Det stemmer det, og da er det ikke no gøy lenger, bare jobb:P

Innlegg Magnus » 23/09-2006 13:37

Ja, selvfølgelig, dette tilfelle er vel et særtilfelle i grunn. VI kan bruke aritmetiske rekker for å finne denne summen, så var litt dårlig besvart det forrige innlegget mitt, beklager.

Men når man kommer til høyere potenser finnes det også en generell formen for disse, men disse inneholder bernoulli-tall, så de er ikke akkurat lette å forholde seg til :)

Innlegg Cauchy » 23/09-2006 08:23

Trenger ikke prøve seg frem heller, formelen er ganske intuitiv klar hvis du tenker på denne måten:

Du skal summe alle heltallene fra 1 - n.
Først summer du samen n og 1
Så summer du sammen n-1 og 2
.
.
.
.
Til slutt summer du sammen n/2 og n/2+1

Summen av alle disse parene er n+1, og du har n/2 har dem. da følger formelen direkte.

Innlegg Magnus » 23/09-2006 02:54

Man leter vel etter et utrykk som passer, og deretter bruker man induksjon for å se om det passer for alle. Så er vel mest om å "prøve" seg fram.

Fra sum til brøk

Innlegg sEirik » 22/09-2006 14:43

Er det mulig å gå algebraisk fra

(1) [tex]\sum_{i=1}^n i[/tex]

til

(2) [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

? Og i så fall hvordan? Med andre ord, hvordan kommer man fram til at (1) er lik (2)? Dvs, når man først vet det, er det enkelt å bevise, men hvordan finner man uttrykket (2)?

Topp